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observerons d’abord que, $\mathrm {C}$ étant connu, $\mathrm {C} '$ le sera pareillement car, si l’on prend la double intégrale $\iint e^{-s\left(1+u^{4}\right)}dsdu,$ depuis $s=0$ jusqu’à $s=-\infty$ et depuis $u=0$ jusqu’à $u=\infty ,$ on aura, en intégrant d’abord par rapport à $s,$

$\iint e^{-s\left(1+u^{4}\right)}duds=\int {\frac {du}{1+u^{4}}}={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}.$

Si l’on fait ensuite $u{\sqrt[{4}]{s}}=t,$ on aura

$\iint e^{-s\left(1+u^{4}\right)}dsdu=\int e^{-s}{\frac {ds}{\sqrt[{4}]{s}}}\int e^{-t^{4}}dt=\mathrm {C} \int e^{-s}{\frac {ds}{\sqrt[{4}]{s}}}.$

Soit $s=s'^{4},$ et l’on aura

$\int e^{-s}{\frac {ds}{\sqrt[{4}]{s}}}=4\int s'^{2}e^{-s'^{4}}ds'=4\mathrm {C} '\,;$

donc

$\iint e^{-s\left(1+u^{4}\right)}dsdu=4\mathrm {CC'} ={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}},$

ce qui donne

$\mathrm {C} '={\frac {\pi }{8\mathrm {C} {\sqrt {2}}}}.$

Quant à la valeur de $\mathrm {C} ,$ il ne m’a pas encore été possible, malgré plusieurs tentatives, de la ramener aux arcs de cercle ou aux logarithmes ; mais j’ai trouvé qu’elle dépendait de la rectification de la courbe élastique rectangle ou, ce qui revient au même, de l’intégrale $\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}},$ prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=1\,;$ si l’on désigne par $\pi '$ la valeur de cette intégrale, on a trouvé

$\pi '=1{,}31102877714605987$ ^[1].

Cela posé, considérons la double intégrale $\iint e^{-s^{2}\left(1+u^{4}\right)}dsdu,$ prise depuis $s=0$ jusqu’à $s=\infty$ et depuis $u=0$ jusqu’à $u=\infty \,;$ en faisant $u{\sqrt {s}}=t,$ elle deviendra

$\int e^{-s^{2}}{\frac {ds}{\sqrt {s}}}\int e^{-t^{2}}dt\qquad {\text{ou}}\qquad \mathrm {C} \int e^{-s^{2}}{\frac {ds}{\sqrt {s}}}.$

1. Voir le Traité de M. Stirling, De sommation et interpolation serierum, p. 58.