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on aura

$\log \mathrm {A} -\log y=t^{4}$

et

$\theta =\alpha ^{\frac {1}{4}}\left(h+h^{(1)}\alpha ^{\frac {1}{4}}t+h^{(2)}\alpha ^{\frac {1}{2}}t^{2}+h^{(3)}\alpha ^{\frac {3}{4}}t^{3}+\alpha h^{(4)}t^{4}+\ldots \right),$

d’où l’on tire

$\int ydx=\alpha ^{\frac {1}{4}}\mathrm {A} \int e^{-t^{4}}dt\left(h+2h^{(1)}\alpha ^{\frac {1}{4}}t+3h^{(2)}\alpha ^{\frac {1}{2}}t^{2}+\ldots \right).$

On prouvera, comme dans l’article précédent, que l’intégrale relative à $t$ doit être prise depuis $t=-\infty$ jusqu’à $t=\infty \,;$ or on a dans ce cas

$\int t^{2n-1}e^{-t^{4}}dt=0$

et

$\int t^{2n}e^{-t^{4}}dt=2\int t^{2n}e^{-t^{4}}dt,$

l’intégrale du second membre étant prise depuis $t=0$ jusqu’à $t=\infty .$ Si l’on y suppose ensuite $n=2i,$ on aura

$\int t^{2n}e^{-t^{4}}dt={\frac {1.5.9\ldots (4i-3)}{4^{i}}}\int e^{-t^{4}}dt,$

et, si $n=2i+1,$ on aura

$\int t^{2n}t^{2n}e^{-t^{4}}dt={\frac {3.7.11\ldots (4i-1)}{4^{i}}}\int t^{2}e^{-t^{4}}dt\,;$

en supposant donc

${\begin{aligned}\int e^{-t^{4}}dt\quad =&\mathrm {C} ,\\\int t^{2}e^{-t^{4}}dt=&\mathrm {C} ',\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}&\int ydx=2\alpha ^{\frac {1}{4}}\mathrm {AC} \\&\times \left(\ \ \ h\ \ \ +{\frac {1.5}{4}}\alpha h^{(4)}+{\frac {1.5.9}{4^{2}}}\ \ \alpha ^{2}h^{(8)}\ +{\frac {1.5.9.13}{4^{3}}}\ \ \alpha ^{3}h^{(12)}+\ldots \right)\\&\quad \qquad +2\alpha ^{\frac {1}{4}}\mathrm {AC'} \\&\times \left(3h^{(2)}+{\frac {3.7}{4}}\alpha h^{(6)}+{\frac {3.7.11}{4^{2}}}\alpha ^{2}h^{(10)}+{\frac {3.7.11.15}{4^{3}}}\alpha ^{3}h^{(14)}+\ldots \right),\end{aligned}}$

et il est aisé d’en conclure, par analogie, les valeurs de $\int ydx$ dans le cas où la condition du maximum de $y$ ferait disparaître un plus grand nombre de puissances de $\theta$.

Tout se réduit donc à déterminer les valeurs de $\mathrm {C}$ et de $\mathrm {C} '\,:$ nous