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on aura donc

$\alpha ^{\frac {1}{2}}={\sqrt {\frac {2\mathrm {A} }{-{\cfrac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}}}}.$

Partant on aura à très peu près, lorsque $\alpha$ est très petit,

$k={\frac {\mathrm {A} ^{\frac {3}{2}}{\sqrt {2\pi }}}{\sqrt {\cfrac {-d^{2}y}{d\theta ^{2}}}}}$

ou, ce qui revient au même,

$(\mu )\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \left(\int ydx\right)^{2}={\frac {2\pi y^{3}}{\cfrac {-d^{2}y}{dx^{2}}}},$

l’intégrale $\int ydx$ étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=1,$ et les quantités $y$ et ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ du second membre de cette équation étant ce qu’elles deviennent lorsqu’on $y$ suppose $x=a.$

XXIV.

En substituant $a+\theta$ au lieu de $x$ dans $\log y$ et en réduisant en série, la condition du maximum de $y$ fait disparaître la première puissance de $\theta$ dans cette série ; mais cette condition peut, comme l’on sait, faire disparaître la première, la deuxième et la troisième puissance de $\theta$ ou la première, la deuxième, la troisième, la quatrième et la cinquième puissance, et ainsi de suite, pourvu que le nombre des puissances qui disparaissent soit impair. Voyons ce que devient alors l’intégrale $\int ydx,$ prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=1.$

Supposons que la première, la deuxième et la troisième puissance de disparaissent, on aura pour $\alpha \log y$ une suite de cette forme

$\alpha \log y=\alpha \log \mathrm {A} -\theta ^{4}\left(f+f'\theta +f''\theta ^{2}+\ldots \right)\,;$

donc, si l’on fait

$\theta ^{4}\left(f+f'\theta +f''\theta ^{2}+\ldots \right)=\alpha t^{4},$