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( l’intégrale étant prise depuis $s'=0$ jusqu’à $s'=\infty$ ) ; donc

$\iint e^{-s\left(1+u^{2}\right)}dsdu=2\mathrm {B} ^{2}={\frac {\pi }{2}},$

d’où l’on tire $\mathrm {B} ={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }},$ partant

$(s)\quad k=\mathrm {A} {\sqrt {\alpha \pi }}\left(h+1.3{\frac {\alpha h^{(2)}}{2}}+1.3.5{\frac {\alpha ^{2}h^{(4)}}{2^{2}}}+1.3.5.7{\frac {\alpha ^{3}h^{(6)}}{2^{3}}}+\ldots \right)$

Si l’on met l’équation

$\log \mathrm {A} -\log y=t^{2}$

sous cette forme

$\theta =t{\sqrt {\frac {\theta ^{2}}{\log \mathrm {A} -\log y}}},$

on aura, pour déterminer les coefficients $h,h^{(2)},h^{(4)},\ldots$ de la série

$\theta =\alpha ^{\frac {1}{2}}t\left(h+h^{(1)}\alpha ^{\frac {1}{2}}t+h^{(2)}\alpha t^{2}+\ldots \right),$

l’expression générale

$(z)\qquad \qquad \alpha ^{n+{\frac {1}{2}}}h^{(2n)}={\frac {d^{2n}\left[\theta ^{2n+1}\left(\log \mathrm {A} -\log y\right)^{-n-{\frac {1}{2}}}\right]}{1.2.3\ldots (2n+1)d\theta ^{2n}}},$

pourvu que l’on suppose $d\theta$ constant $\theta =0$ après les différentiations. [Voir sur cela les Mémoires de l’Académie pour l’année 1777, p. 115 ^[1].]

Lorsque $n=0,$ on a

$\alpha ^{\frac {1}{2}}h=\theta \left(\log \mathrm {A} -\log y\right)^{-{\frac {1}{2}}}\,;$

or

$\log y=\log \mathrm {A} +\theta {\frac {dy}{yd\theta }}+{\frac {\theta ^{2}}{1.2}}\left({\frac {d^{2}y}{yd\theta ^{2}}}-{\frac {dy^{2}}{y^{2}d\theta ^{2}}}\right)+\ldots .$

$y,dy,d^{2}y,\ldots ,$ dans le second membre de cette équation, étant ce que deviennent ces quantités lorsqu’on y suppose $\theta =0\,;$ cette supposition donne

$y=\mathrm {A} \qquad {\text{et}}\qquad {\frac {dy}{d\theta }}=0\,;$

1. Œuvres de Laplace, T. IX, p. 329.