Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/459

et ainsi de suite ; donc

$\int t^{2n}e^{-t^{2}}dt={\frac {1.3.5.7\ldots (2n-1)}{2^{n}}}\int e^{-t^{2}}dt.$

On aura ainsi

$k=2\alpha ^{\frac {1}{2}}\mathrm {A} \left(h+1.3\alpha {\frac {h^{(2)}}{2}}+1.3.5\alpha ^{2}{\frac {h^{(4)}}{2^{2}}}+1.3.5.7\alpha ^{3}{\frac {h^{(6)}}{2^{3}}}+\ldots \right)\int e^{-t^{2}}dt.$

Il ne s’agit donc plus que d’avoir l’intégrale $\int e^{-t^{2}}dt$ depuis $t=0$ jusqu’à $t=\infty .$ Pour cela, considérons la double intégrale

$\iint e^{-s\left(1+u^{2}\right)}dsdu,$

et prenons-la depuis $s=0$ jusqu’à $s=\infty$ et depuis $u=0$ jusqu’à $u=\infty \,;$ en l’intégrant d’abord par rapport à $s,$ on aura

$\iint e^{-s\left(1+u^{2}\right)}dsdu=\int {\frac {du}{1+u^{2}}}.$

Or on a, comme on sait,

$\int {\frac {du}{1+u^{2}}}={\frac {\pi }{2}}.$

$\pi$ étant le rapport de la demi-circonférence au rayon ; donc

$\iint e^{-s\left(1+u^{2}\right)}dsdu={\frac {\pi }{2}}.$

Si l’on prend cette double intégrale d’abord par rapport à $u,$ en faisant $u{\sqrt {s}}=t,$ elle deviendra $\int e^{-s}{\frac {ds}{\sqrt {s}}}\int e^{-t^{2}}dt\,;$ soit $\int e^{-t^{2}}dt=\mathrm {B}$ (l’intégrale étant prise depuis $t=0$ jusqu’à $t=\infty$), on aura

$\iint e^{-s\left(1+u^{2}\right)}dsdu=\mathrm {B} \int e^{-s}{\frac {ds}{\sqrt {s}}}.$

Or, en faisant $s=s'^{2},$ on a

$\int e^{-s}{\frac {ds}{\sqrt {s}}}=2\int e^{-s'^{2}}ds'=2\mathrm {B}$