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est moindre que $\mathrm {H} +y_{m}z_{m-1},\ \mathrm {H}$ étant une arbitraire. Pareillement $\sum \left(y_{m}\Delta z_{m-1}\right)$ étant égal à

$y_{m}z_{m-1}\Delta (z_{m-2})-\sum \left[y_{m}\Delta \left(z_{m-1}\Delta z_{m-2}\right)\right]$

est moindre que $\mathrm {H} '+y_{m}z_{m-1}\Delta z_{m-2},\ \mathrm {H} '$ étant une nouvelle arbitraire ; donc l’intégrale $\sum y_{m}$ est moindre que $\mathrm {C} +y_{m}z_{m-1}$ et plus grande que

$\mathrm {C} +y_{m}z_{m-1}(1-\Delta z_{m-1}).$

Si l’on détermine, au moyen de la formule $(\gamma ),$ l’intégrale $\sum y_{m}$ depuis $m=0$ jusqu’à $m=a,$ la constante $\mathrm {C}$ sera nulle ; si l’on suppose ensuite qu’il naît $20000$ enfants chaque année, ce qui donne $a=10000,$ on trouvera, en employant pour $p$ et $q$ les valeurs de l’article précédent relatives à Paris,

${\begin{aligned}z_{a-1}=&26{,}22,\\z_{a-2}=&26{,}09.\end{aligned}}$

Partant,

$\Delta z_{a-1}=0{,}13\,;$

on aura ainsi

$\sum y_{m}<26{,}22y_{a}$

et

$\sum y_{m}>26{,}22y_{a}\left(1-0{,}13\right).$

En faisant donc

$\sum y_{m}=26{,}22y_{a},$

cette valeur de $\sum y_{m}$ ne surpassera que de ${\frac {1}{10}}$ environ la véritable valeur ; il suit de là que, si l’on nomme $\mathrm {P}$ la probabilité que sur $20000$ enfants il y aura autant de garçons que de filles, la probabilité que le nombre des garçons ne l’emportera pas sur celui des filles sera un peu plus petite que $26{,}22\mathrm {P} .$

On déterminera la valeur de $\mathrm {P}$ par la formule $(\varpi )$ de l’article XVII ; pour cela, on y supposera $m=n=a,$ et on la mettra sous cette forme

$\mathrm {P} ={\frac {\gamma p^{\alpha }q^{\alpha }}{(p+q)^{2a}}}{\frac {(p+q)^{\frac {3}{2}}{\sqrt {(p+a)(q+a)}}}{{\sqrt {pq}}(p+q+2a)^{\frac {3}{2}}}}$

$\times \left[1+{\frac {a(p-q)}{q(p+q+2a)}}\right]^{q+a}\left[1-{\frac {a(p-q)}{p(p+q+2a)}}\right]^{p-a}$