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valeurs de $\mathrm {P} ,$ depuis $m=0$ jusqu’à $m-a.$ Soit

${\frac {1.2.3\ldots (q+2a-m).1.2.3\ldots (p+m)}{1.2.3\ldots (2a-m).1.2.3\ldots m}}=y_{m},$

et cherchons l’intégrale finie $\sum y_{m},$ depuis $m=0$ jusqu’à $m=a,$ la caractéristique $\sum$ servant à désigner les intégrales finies ; on a visiblement

$y_{m}={\frac {(m+1)(q+2a-m)}{(2a-m)(p+m+1)}}y_{m+1}\,;$

donc

$y_{m}\left[1-{\frac {(m+1)(q+2a-m)}{(2a-m)(p+m+1)}}\right]={\frac {(m+1)(q+2a-m)}{(2a-m)(p+m+1)}}\Delta y_{m}$

ou

$y_{m}={\frac {(m+1)(q+2a-m)}{2ap-p-m(p+q)}}\Delta y_{m},$

la caractéristique $\Delta$ étant celle des différences finies. Supposons généralement

$y_{m}=z_{m}\Delta y_{m},$

nous aurons, en intégrant,

$\sum y_{m}=y_{m}z_{m-1}-\sum \left(y_{m}\Delta z_{m-1}\right)\,;$

or, si l’on substitue pour $y_{m}$ sa valeur $z_{m}\Delta y_{m},$ on a

${\begin{aligned}\sum \left(y_{m}\Delta z_{m-1}\right)=&\sum \left(z_{m}\Delta z_{m-1}\Delta y_{m}\right)\\=&y_{m}z_{m-1}\Delta z_{m-2}-\sum \left[y_{m}\Delta \left(z_{m-1}\Delta z_{m-2}\right)\right].\end{aligned}}$

Pareillement,

${\begin{aligned}\sum &\left[y_{m}\Delta \left(z_{m-1}\Delta z_{m-2}\right)\right]\\&=y_{m}z_{m-1}\Delta \left(z_{m-2}\Delta z_{m-3}\right)-\sum \left\{y_{m}\Delta \left[z_{m-1}\Delta \left(z_{m-2}\Delta z_{m-3}\right)\right]\right\},\end{aligned}}$

et ainsi de suite ; on aura donc

$(\gamma )\qquad \sum y_{m}=\mathrm {C} +y_{m}z_{m-1}\left\{{\begin{aligned}1&-\Delta z_{m-2}+\Delta \left(z_{m-2}\Delta z_{m-3}\right)\\&-\Delta \left[z_{m-2}\Delta \left(z_{m-3}\Delta z_{m-4}\right)\right]+\ldots \end{aligned}}\right\},$

$\mathrm {C}$ étant une constante arbitraire. Cette suite est, dans les différences finies, ce qu’est la suite $(\lambda )$ de l’article XVIII, dans les différences