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$z$ étant égal à ${\frac {x(1-x)}{1-(1+\mu )x}}\,;$ de là on tirera, quel que soit $z$

$(\lambda )\ \ \int ydx=\mathrm {C} +\alpha yz\left\{1-\alpha {\frac {dz}{dx}}+\alpha ^{2}{\frac {d(zdz}{dx^{2}}}-\alpha ^{3}{\frac {d\left[zd(zdz)\right]}{dx^{3}}}+\ldots \right\},$

$\mathrm {C}$ étant une constante arbitraire qui dépend de la valeur de $\int ydx,$ à l’origine de l’intégrale. Cette suite, qui est d’un grand usage dans ces recherches, se démontre facilement en observant :

1^o Que

$\int ydx=\int \alpha zdy=\alpha yz-\alpha \int ydz\,;$

2^o Que l’équation

$ydx=\alpha zdy\qquad {\text{donne}}\qquad y=\alpha z{\frac {dy}{dx}},$

et qu’ainsi

$\int ydx=\alpha \int {\frac {zdz}{dx}}dy=\alpha y{\frac {zdz}{dx}}-\alpha \int y{\frac {d(zdz)}{dx}}\,;$

3^o Que

$\int y{\frac {d(zdz)}{dx}}=\alpha \int z{\frac {d(zdz)}{dx}}dy=\alpha yz{\frac {d(zdz)}{dx^{2}}}-\alpha \int y{\frac {d\left[zd(zdz)\right]}{dx^{2}}}.$

et ainsi de suite.

La série précédente cesse d’être convergente lorsque le dénominateur de $z$ est très petit de l’ordre de $\alpha ,$ et c’est ce qui a lieu lorsque $x$ ne diffère de ${\frac {1}{1+\mu }}$ que d’une quantité de cet ordre ; il faut donc n’employer cette série que dans le cas où cette différence est très grande par rapport à $\alpha$. Mais cela ne suffit pas encore : chaque différentiation augmentant d’une unité les puissances des dénominateurs de $z$ et de ses différentielles, il est visible que le terme de la série multiplié par $\alpha ^{i}$ a pour dénominateur celui de $z,$ élevé à la puissance $2i-1\,;$ donc, pour la convergence de cette suite, il est nécessaire que $\alpha$ soit beaucoup moindre, non seulement que le dénominateur de $z,$ mais encore que le carré de ce dénominateur.

Il suit de là que la suite $(\lambda )$ donnera, par une approximation rapide,