et l’on peut tellement faire croître et que la différence de à l’unité soit moindre qu’aucune grandeur donnée, quelque petit que soit d’ailleurs.
On voit par là comment les événements, en se multipliant, nous indiquent d’une manière de plus en plus probable leur possibilité respective ; mais, comme le théorème précédent n’est vrai que dans l’infini et que la valeur de diffère toujours un peu de l’unité lorsque et sont des nombres finis, il est intéressant de connaître cette différence, et pour cela nous allons donner l’expression de par une suite très convergente que nous verrons se réduire à l’unité, lorsque et sont infinis, et qui nous fournira, de cette manière, une démonstration directe et rigoureuse du théorème dont il s’agit.
Soient la possibilité de la naissance d’un garçon et celle de la naissance d’une fille ; la probabilité que, sur enfants, il y aura garçons et filles, sera, comme on l’a vu dans l’article précédent, égale</math> à or, si l’on regarde comme une cause particulière de cet événement, sera, par l’article XV, la probabilité de cette cause, pourvu que l’intégrale du dénominateur soit prise depuis jusqu’à donc la probabilité que sera contenu dans dx des limites données, sera pourvu que l’intégrale du numérateur ne soit prise que dans l’étendue de ces limites ; la question est ainsi réduite à déterminer, dans ce dernier cas, la valeur de lorsque et sont de très grands nombres.
Soit on aura
et si l’on fait étant une fraction extrêmement petite, puisque et sont très considérables, on aura
