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Si $\mu$ et $s$ sont de très petits nombres par rapport à $p$ et à $q,$ on a

$\log(p+\mu )^{p+s}=(p+s)\left[\log p+\log \left(1+{\frac {\mu }{p}}\right)\right]$

$=(p+s)\left({\frac {\mu }{p}}+\log p\right)=\mu +(p+s)\log p\,;$

donc

$(p+\mu )^{p+s}=p^{p+s}e^{\mu }\,;$

partant, si $m$ et $n$ sont très petits relativement à $p$ et $q,$ on a

${\begin{aligned}(q+n)^{q+n+{\frac {1}{2}}}=&e^{n}q^{q+n+{\frac {1}{2}}}\\(p+m)^{p+m+{\frac {1}{2}}}=&e^{m}p^{p+m+{\frac {1}{2}}},\\(p+q+m+n)^{p+q+m+n+{\frac {3}{2}}}=&e^{m+n}(p+q)^{p+q+{\frac {3}{2}}},\end{aligned}}$

d’où l’on tire

$\mathrm {P} =\gamma {\frac {p^{m}q^{n}}{(p+q)^{m+n}}}.$

XVIII.

Cette valeur de $\mathrm {P}$ est la même que celle à laquelle on parviendrait en supposant les possibilités des naissances des garçons et des filles dans le rapport de $p$ à $q\,;$ d’où il est naturel de conclure que ces possibilités sont à très peu près dans le même rapport, et qu’ainsi la vraie possibilité de la naissance d’un garçon est très approchante de ${\frac {p}{p+q}}\,;$ ce n’est pas que, absolument parlant, elle ne puisse avoir une valeur bien différente, mais l’expression ${\frac {p}{p+q}}\,;$ et celles qui en sont très voisines sont incomparablement plus probables que les autres, et l’on peut énoncer ainsi la conclusion précédente :

Si l’on désigne par $\theta$ une quantité fort petite et par $\mathrm {P}$ la probabilité que la possibilité de la naissance d’un garçon est comprise dans les limites ${\frac {p}{p+q}}-\theta$ et ${\frac {p}{p+q}}+\theta ,$ la valeur de $\mathrm {P}$ différera d’autant moins de la certitude ou de l’unité que $p$ et $q$ seront de plus grands nombres,