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par $\lambda ,$ on aura

$\lambda x^{p}(1-x)^{q}$

pour la probabilité que, sur $p+q$ enfants, il y aura $p$ garçons et $q$ filles ; cet événement est celui que nous avons nommé $\mathrm {E}$ dans l’article XIV. Pareillement, si l’on désigne par $\gamma$ le produit

${\frac {1.2.3\ldots (m+n)}{1.2.3\ldots m.1.2.3\ldots n}},$

on aura

$\gamma \lambda x^{p+m}(1-x)^{q+n}$

pour la probabilité que, sur $p+q$ enfants qui naîtront d’abord, il y aura $p$ garçons et $q$ filles, et que, sur $m+n$ enfants qui naîtront ensuite, il y aura $m$ garçons et $n$ filles ; cet événement est celui que nous avons nommé $\mathrm {E} +e$ dans l’article cité. Maintenant, $x$ étant susceptible de toutes les valeurs depuis $x=0$ jusqu’à $x=1,$ et toutes ces valeurs étant a priori également probables, il faut, pour avoir la véritable probabilité de $\mathrm {E} ,$ multiplier $\lambda x^{p}(1-x)^{q}$ par $adx,\ a$ étant constant, et prendre l’intégrale $\lambda \int ax^{p}(1-x)^{q}dx$ (depuis $x=0$ jusqu’à $x=1$) ; la valeur de $a$ se déterminera en observant que, $x$ devant nécessairement tomber entre $0$ et $1,$ on a

$\int adx=1,$

l’intégrale étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=1,$ ce qui donne $a=1$. On aura semblablement

$\lambda \gamma \int x^{p+m}(1-x)^{q+n}dx$

pour la probabilité entière de l’événement $\mathrm {E} +e\,;$ donc la probabilité cherchée $\mathrm {P} ,$ que, sur $m+n$ enfants qui doivent naître, il y aura $m$ garçons et $n$ filles, sera, par l’article XIV,

$\mathrm {P} ={\frac {\gamma \int x^{p+m}(1-x)^{q+n}dx}{\int x^{p}(1-x)^{q}dx}},$

les intégrales du numérateur et du dénominateur étant prises depuis