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On trouvera de la même manière que, $\mathrm {B}$ ayant déjà gagné la première partie, la probabilité $\mathrm {P}$ que $\mathrm {A}$ gagnera les $n$ suivantes est

$\mathrm {P} ={\frac {1-\alpha ^{2}}{2^{n+1}}}\left[(1+\alpha )^{n-1}+(1-\alpha )^{n-1}\right].$

Si $\alpha$ est peu considérable, on a à très peu près

$\mathrm {P} ={\frac {1}{2^{n}}}\left\{1+\alpha ^{2}\left[{\frac {(n-1)(n-2)}{1.2}}-1\right]\right\}\,;$

or, toutes les fois que $n$ surpassera $3,$ cette quantité sera plus grande que la probabilité ${\frac {1}{2^{n}}}$ que donne la supposition des adresses égales ; d’où il résulte que, dans ce cas, quoiqu’il soit probable que $\mathrm {A}$ est le joueur le plus faible, cependant la probabilité qu’il gagnera les $n$ parties suivantes est plus grande que si l’on supposait $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ de forces égales.

XVII.

Lorsqu’on n’a aucune donnée a priori sur la possibilité d’un événement, il faut supposer toutes les possibilités, depuis zéro jusqu’à l’unité, également probables ; ainsi, l’observation pouvant seule nous instruire sur le rapport des naissances des garçons et des filles, on doit, à ne considérer la chose qu’en elle-même et abstraction faite des événements, supposer la loi de possibilité des naissances d’un garçon ou d’une fille constante depuis zéro jusqu’à l’unité, et partir de cette hypothèse dans les différents problèmes que l’on peut se proposer sur cet objet.

Supposons, par exemple, que l’on ait observé que, sur $p+q$ enfant, il est né $p$ garçons et $q$ filles, et que l’on cherche la probabilité $\mathrm {P}$ que, sur $m+n$ enfants qui doivent naître, il y aura $m$ garçons et $n$ filles ; si l’on nomme $x$ la probabilité qu’un enfant qui doit naître sera un garçon, et $1-x$ celle qu’il sera fille, en désignant

${\frac {1.2.3\ldots (p+q)}{1.2.3\ldots p.1.2.3\ldots q}}$