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En égalant ces probabilités aux précédentes, on aura

${\begin{aligned}ax\ \,+a'x'\ \,+a''x''\ \,+\ldots =&{\frac {a^{2}+a'^{2}+a''^{2}+\ldots }{a+a'+a''+\ldots }},\\a^{2}x+a'^{2}x'+a''^{2}x''+\ldots =&{\frac {a^{3}+a'^{3}+a''^{3}+\ldots }{a+a'+a''+\ldots }}\,;\end{aligned}}$

on formera $n-1$ équations semblables, et, en les combinant avec l’équation

$x+x'+x''+\ldots =1,$

qui résulte de la supposition que l’événement ne peut être produit que par les $n$ causes $\mathrm {A,A',A''} ,\ldots ,$ on aura en tout $n$ équations du premier degré, qui serviront à déterminer $x,x',x'',\ldots \,;$ or il est visible que l’on y satisfera en faisant

${\begin{aligned}x\ =&{\frac {a}{a+a'+a''+\ldots }},\\x'=&{\frac {a'}{a+a'+a''+\ldots }},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

d’où il suit que, pour avoir la probabilité de l’existence d’une cause quelconque $\mathrm {A} ^{(r)}$ résultante d’un événement donné, il faut déterminer la probabilité $a^{(r)}$ que cette cause ayant lieu produira cet événement, et diviser cette probabilité par la somme des probabilités semblables $a,a',a'',\ldots$ relatives à toutes les causes qui peuvent le produire.

XVI.

Pour appliquer cette théorie et pour faire sentir par un exemple fort simple l’influence des événements passés sur la probabilité de ceux qui suivent, considérons deux joueurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ dont les adre soient inconnues ; il est infiniment peu vraisemblable qu’elles seront parfaitement égales. Soient donc ${\frac {1+\alpha }{2}}$ la plus grande et ${\frac {1-\alpha }{2}}$ la plus petite ; si l’on cherche la probabilité $\mathrm {P}$ que $\mathrm {A}$ gagnera les deux pre-