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Il faut ensuite, dans le développement de cette quantité, substituer pour à la partie de l’exposant de $l$ qui dépend de $c'$ et de $s'\,;$ pour $k_{1},$ la partie de cet exposant qui dépend de $c''$ et de $s'',$ etc. ; diminuer $s$ de l’exposant entier de $l,$ et rejeter ce terme toutes les fois que cet exposant, ainsi diminué, sera négatif ; enfin supposer

$0=c'=c''=c'''=\ldots ,\qquad s=s'=s''=\ldots ,\qquad {\text{et}}\qquad l=1.$

La quantité précédente se réduira ainsi à cette formule très simple

${\frac {b^{n}s^{n}}{1.2.3\ldots n}}\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n-2}}+\ldots +{\frac {1}{r}}\right)\,;$

en divisant cette quantité par le nombre de toutes les combinaisons, qui ne peut être une fonction de $n$, on aura, pour l’ordonnée moyenne correspondante au $r$^ième point,

$\mathrm {N} \left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n-1}}+\ldots +{\frac {1}{r}}\right),$

$\mathrm {N}$ étant fonction de $n$.

Supposons maintenant que les nombres $n$ et $r$ deviennent infinis, que le $r$^ième point réponde à l’abscisse $x$ et le $n$^ième point à l’abscisse $a,$ on aura, comme l’on sait,

${\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n-1}}+\ldots +{\frac {1}{r}}=\log n-\log r=\log {\frac {n}{r}}=\log {\frac {a}{x}}\,;$

donc l’ordonnée moyenne $y$ qui répond à l’abscisse $x$ est $\mathrm {N} \log {\frac {a}{x}}\,;$ on déterminera $\mathrm {N} ,$ en observant que l’on doit avoir $\int \mathrm {N} dx\log {\frac {a}{x}}={\frac {1}{2}},$ l’intégrale étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=a,$ ce qui donne

$\mathrm {N} ={\frac {1}{2a}},$

partant

$y={\frac {1}{2a}}\log {\frac {a}{x}}.$

Il faut observer que cette équation doit être supposée la même, $x$ étant positif ou négatif, ce qui revient à supposer ici les logarithmes des