Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/423

cessairement positifs et que l’on aura

$nz+(n-1)z_{1}+(n-2)z_{2}+\ldots +z_{n-1}=s.$

Soit

$nz=t,\quad (n-1)z_{1}=t_{1},\quad (n-2)z_{2}=t_{2},\quad \ldots ,\quad z_{n-1}=t_{n-1},$

l’équation précédente deviendra

$t+t_{1}+t_{2}+\ldots +t_{n-1}=s\,;$

les variables $t,t_{1},t_{2},\ldots$ pourront s’étendre depuis zéro jusqu’à $s,$ et l’ordonnée relative au $r$^ième point sera

${\frac {t}{n}}+{\frac {t_{1}}{n-1}}+{\frac {t_{2}}{n-2}}+\ldots +{\frac {t_{n-r}}{r}}.$

Il faut conséquemment déterminer la somme de toutes les variations que peut recevoir cette quantité et la diviser par le nombre de ces variations : or il est visible que ce problème rentre dans celui de l’article VII ; que la quantité que nous y avons nommée $\psi \left(t,t_{1},t_{2},\ldots \right)$ est ici

${\frac {t}{n}}+{\frac {t_{1}}{n-1}}+\ldots +{\frac {t_{n-r}}{r}}\,;$

que les quantités $q$ et $q'$ sont ici $0$ et $s,$ et que la loi de facilité des variations de $t$ doit être supposée égale à une constante $b$ et la même que pour $t_{1},t_{2},\ldots .$ On aura donc, dans le cas présent,

$\Gamma \left(u,u_{1},u_{2},\ldots \right)={\frac {k}{n}}+{\frac {k_{1}}{n-1}}+\ldots +{\frac {k_{n-r}}{r}}+{\frac {u}{n}}+{\frac {u_{1}}{n-1}}+\ldots +{\frac {u_{n-r}}{r}},$

$\Pi (u)=\Pi _{1}(u_{1})=\Pi _{2}(u_{2})=\ldots =b\left(1-l^{s}\right)\,;$

mais, comme il faut distinguer les limites $0$ et $s,$ qui appartiennent aux variables $t,t_{1},\ldots ,t_{n-r},$ afin d’assigner à $k,k_{1},\ldots ,k_{n-r},$ les valeurs qui leur conviennent, nous représenterons par $c',s',c'',,s'',c''',s''',\ldots$ ces limites. Cela posé, la formule (B) de l’article VIII donnera pour $\Gamma$$(s)$

$\left({\frac {{\cfrac {k}{n}}+{\cfrac {k_{1}}{n-1}}+{\cfrac {k_{2}}{n-1}}+\ldots +{\cfrac {k_{n-r}}{r}}}{1.2.3\ldots (n-1)}}s^{n-1}+{\frac {{\cfrac {1}{n}}+{\cfrac {1}{n-1}}+\ldots +{\cfrac {1}{r}}}{1.2.3\ldots n}}s^{n}\right)$

$\times b^{n}\left(1-l^{s}\right)^{r}\left(l^{c'}-l^{s'}\right)\left(l^{c''}-l^{s''}\right)\ldots .$