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limites $h$ et $h',$ il est très vraisemblable qu’elle va en croissant depuis ces limites jusqu’au milieu de l’intervalle qui les sépare et qu’elle est la même de chaque côté de ce milieu. Voilà donc une condition à laquelle on doit assujettir la fonction dont on fera choix ; mais cette fonction reste encore très indéterminée, et, comme, parmi celles qui peuvent satisfaire à la condition précédente, on n’a aucune raison d’en préférer une, il faut prendre une fonction moyenne entre toutes ces fonctions : la question est ainsi réduite à déterminer cette fonction moyenne.

Pour cela, soient $2a$ l’intervalle compris entre les deux limites et $x$ la distance du milieu de cet intervalle à un point quelconque pris de l’un ou de l’autre côté de ce milieu ; si l’on élève à ce point une ordonnée $y,$ qui représente la probabilité de $x,$ on aura une courbe renfermée entre les deux limites, et, la valeur de $x$ devant nécessairement tomber dans cet intervalle, la surface de cette courbe sera égale à l’unité, en sorte que, depuis le milieu jusqu’à l’une des limites, cette surface sera ${\frac {1}{2}}\,;$ on peut donc concevoir cette quantité \varepsilon partagée dans un nombre infini de parties égales distribuées au-dessus des différents points de l’intervalle $a\,;$ par la condition du problème, cette répartition doit être telle qu’il y ait d’autant moins de ces parties au-dessus de chaque point qu’il s’éloigne davantage du milieu ; toutes les combinaisons dans lesquelles cela existe sont également admissibles, et l’on aura l’ordonnée moyenne qui en résulte pour l’abscisse $x,$ en prenant la somme de toutes les ordonnées $y$ relatives à chaque combinaison et en la divisant par le nombre de ces combinaisons.

Supposons d’abord le nombre des points de l’intervalle $a$ fini et égal à $n,$ et nommons $s$ le nombre infini de parties qu’il faut distribuer au-dessus de ces points, en observant la condition précédente ; soient, de plus, $z$ l’ordonnée relative au $n$^ième point ; $z+z_{1}$ l’ordonnée relative au $(n-1)$^ième point ; $z+z_{1}+z_{2}$ l’ordonnée relative au $(n-2)$^ième point, et ainsi de suite, en sorte que l’ordonnée relative au premier point ou au point du milieu de l’intervalle $2a$ soit $z+z_{1}+\ldots +z_{n-1}\,:$ il est visible que $z,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n-1}$ seront né-