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Si l’expression de $z$ renferme deux termes, en sorte que l’on ait

z=\mathrm {A\varphi (\varpi )+A'} \varphi _{1}(\varpi ),

en substituant cette valeur de $z$ dans l’équation différentielle, on aura les trois suivantes

{\begin{aligned}0=&{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \theta }}+m\mathrm {A} ,\\0=&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} }{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \varpi }}\ +n{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \theta }}\ +l\mathrm {A} \ +{\frac {\partial \mathrm {A} '}{\partial \theta }}+m\mathrm {A} ',\\0=&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} '}{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial \mathrm {A} '}{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial \mathrm {A} '}{\partial \theta }}+l\mathrm {A} '\,;\end{aligned}}

si l’on fait

z^{(1)}={\frac {\partial z}{\partial \theta }}+mz,

on aura

z^{(1)}=\left({\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \theta }}+m\mathrm {A} \right)\varphi (\varpi )+\left({\frac {\partial \mathrm {A} '}{\partial \theta }}+m\mathrm {A} '\right)\varphi _{1}(\varpi )=\left({\frac {\partial \mathrm {A} '}{\partial \theta }}+m\mathrm {A} '\right)\varphi _{1}(\varpi ),

en sorte que l’expression de $z^{(1)}$ ne renfermera qu’un seul terme ; présentement, l’équation

0={\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial z}{\partial \theta }}+lz

peut être mise, comme on l’a vu, sous cette forme

0={\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \varpi }}+nz^{(1)}+z\left(l-{\frac {\partial m}{\partial \varpi }}-nm\right).

Soit

\mu =l-{\frac {\partial m}{\partial \varpi }}-nm,

on aura

0={\frac {1}{\mu }}{\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \varpi }}+{\frac {n}{\mu }}z^{(1)}+z\,;

en différenciant cette équation par rapport à $\theta ,$ on aura

0={\frac {1}{\mu }}{\frac {\partial ^{2}z^{(1)}}{\partial \varpi \partial \theta }}-{\frac {\cfrac {\partial \mu }{\partial \theta }}{\mu ^{2}}}{\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \varpi }}+{\frac {n}{\mu }}{\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \theta }}+z^{(1)}\left({\frac {\cfrac {\partial n}{\partial \theta }}{\mu }}-n{\frac {\cfrac {\partial \mu }{\partial \theta }}{\mu ^{2}}}\right)+{\frac {\partial z}{\partial \theta }}\,;