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de l’erreur négative $-z,$ soit $h-z,$ et que $h$ et $-h$ soient les limites de cette erreur ; supposons, de plus, que cette loi soit la même pour les erreurs $z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n-2}$ des autres observations, et que l’on cherche la probabilité que la somme des erreurs sera comprise dans les limites $p$ et $p+e.$

Si l’on fait $z=t-h,z_{1}=t_{1}-h_{1},\ldots ,$ il est clair que $t,t_{1},\ldots$ seront toujours positifs et pourront s’étendre depuis zéro jusqu’à $2h\,;$ la loi de facilité de $t,$ depuis $t=0$ jusqu’à $t=h,$ sera exprimée par $t\,;$ cette même loi, depuis $t=h$ jusqu’à $t=2h,$ sera $2h-t\,;$ elle sera nulle depuis $t=2h$ jusqu’à $t=\infty .$ On aura ainsi dans ce cas

$q=0,\qquad q'=h,\qquad q''=2h,$

${\begin{aligned}\varphi (t)\,=&t,\\\varphi '(t)\,+&\varphi (t)=2h-t,\\\varphi ''(t)+&\varphi '(t)+\varphi (t)=0,\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}\varphi '(t)\,=&2h-2t,\\\varphi ''(t)=&t\ \ \ -2h.\end{aligned}}$

La fonction que nous avons désignée par $\Pi (u)$ dans l’article VII sera donc $u\left(1-l^{h}\right)^{2},$ et l’on aura les fonctions

$\Pi _{1}\left(u_{1}\right),\quad \ldots \quad \Pi _{n-2}\left(u_{n-2}\right),$

en y changeant $u$ successivement en $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n-2}.$

Présentement, on a

$z+z_{1}+\ldots +z_{n-2}=t+t_{1}+\ldots +t_{n-2}-(n-1)h\,;$

donc la somme des erreurs $z,z_{1},\ldots$ devant, par l’hypothèse, être renfermée dans les limites $p$ et $p+e,$ la somme des valeurs de $t,t_{1},t_{2},\ldots$ sera comprise dans les limites $(n-1)h+p+e$ et $(n-1)h+p,$ en sorte que, si l’on fait

$(n-1)h+p+e=s\qquad {\text{et}}\qquad t+t_{1}+\ldots +t_{n-2}=s-t_{n-1},$

$t_{n-1}$ pourra s’étendre depuis zéro jusqu’à $e,$ et l’on prouvera, comme