Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/417

quels $\mu$ est plus grand que $s.$ On peut, au moyen de cette formule, résoudre un problème que je me suis proposé ailleurs, sur les inclinaisons des orbites des comètes ; en supposant toutes les inclinaison à l’écliptique également possibles, il s’agissait de déterminer la probabilité que l’inclinaison moyenne des orbites de $n-1$ comètes sera comprise dans les limites $\theta$ et $\theta '$ ou, ce qui revient au même, que la somme de leurs inclinaisons sera comprise dans les limites $(n-1)\theta$ et $(n-1)\theta '.$ En nommant $t,t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n-2}$ ces inclinaisons, comme elles peuvent s’étendre depuis zéro jusqu’à $90^{\circ },$ on aura

$f=0\qquad {\text{et}}\qquad g=90^{\circ }\quad {\text{ou}}\quad {\frac {\pi }{2}},$

$\pi$ exprimant le rapport de la demi-circonférence au rayon ; de plus, leur possibilité dans cet intervalle étant constante, la fonction $a'+b't+ct^{2}$ se réduit à la constante $a',$ d’où il est aisé de conclure

$a^{(1)}=a'^{n-1}=a^{(2)}=a^{(3)}=\ldots ,\quad 0=b^{(1)}=b^{(2)}=\ldots ,\quad 0=c^{(1)}=c^{(2)}=\ldots .$

D’ailleurs, la valeur de $t$ étant nécessairement comprise dans les limites $0$ et ${\frac {\pi }{2}},\ \int a'dt=1,$ l’intégrale étant prise pour toute l’étendue de ces limites, d’où l’on tire $a'={\frac {2}{\pi }},$ la formule précédente donnera ainsi pour la probabilité demandée

${\frac {2^{n-1}}{1.2.3\ldots (n-1)wp^{n-1}}}\times$

$\left\{{\begin{aligned}&s^{n-1}-(s-e)^{n-1}-(n-1)\left[\left(s-{\frac {\pi }{2}}\right)^{n-1}-\left(s-e-{\frac {\pi }{2}}\right)^{n-1}\right]\\&+{\frac {(n-1)(n-2)}{1.2}}\left[(s-\pi )^{n-1}-(s-e-\pi )^{n-1}\right]\\&-{\frac {(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.3}}\left[\left(s-{\frac {3}{2}}\pi \right)^{n-1}-\left(s-e-{\frac {3}{2}}\pi \right)^{n-1}\right]+\ldots \end{aligned}}\right\},$

où l’on doit observer que $s=(n-1)\theta '$ et $e=(n-1)(\theta '-\theta ).$

X.

$z,z_{1},z_{2},\ldots$ représentant toujours les erreurs de $n-1$ observations, supposons que la loi de facilité, tant de l’erreur positive $z$ que