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IX.

Supposons $n-1$ observations dont les erreurs puissent s’étendre depuis $-h$ jusqu’à $+g$ et que, en nommant $z$ l’erreur de la première, sa facilité soit exprimée par $a+bz+cz^{2}\,;$ supposons ensuite que cette facilité soit la même pour les erreurs $z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n-2}$ des autres observations, et cherchons la probabilité que la somme des erreurs de ces observations sera comprise entre les limites $p$ et $p+e.$

Si l’on fait

$z=t-h,\qquad z_{1}=t_{1}-h,\qquad \ldots ,\qquad z_{n-2}=t_{n-2}-h,$

il est clair que $t,t_{1},t_{2},\ldots$ seront positifs et pourront s’étendre depuis zéro jusqu’à $h+g\,;$ de plus, on aura

$z+z_{1}+z_{2}+\ldots +z_{n-2}=t+t_{1}+t_{2}+\ldots +t_{n-2}-(n-1)h.$

Donc, la plus grande valeur de la somme $z+z_{1}+\ldots +z_{n-1}$ étant, par la supposition, égale à $p+e,$ et la plus petite étant égale à $p,$ la plus grande valeur de $t+t_{1}+\ldots +t_{n-z}$ sera $(n-1)h+p+e,$ et la plus petite sera $(n-1)h+p\,;$ en faisant ainsi

$(n-1)h+p+e=s\qquad {\text{et}}\qquad t+t_{1}+\ldots +t_{n-2}=s-t_{n-1},$

$t_{n-1}$ sera toujours positif et pourra s’étendre depuis zéro jusqu’à $e.$ Cela posé, si l’on applique à ce cas les formules des deux articles précédents, on aura

$q=0,\qquad q'=f+g\,;$

d’ailleurs, la loi de facilité de l’erreur $z$ étant $a+bz+cz^{2},$ on en conclura la loi de facilité de $t,$ en changeant $z$ en $t-h\,;$ soit

$a'=a-bh+ch^{2},\qquad b'=b-2ch,$

on aura

$a'+b't+ct^{2}$

pour cette facilité : ce sera donc la fonction $\varphi (t)\,;$ mais, comme, depuis $t=h+g$ jusqu’à $t=\infty ,$ la facilité des valeurs de $t$ est nulle par l’hy-