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substitué pour $u$ sa valeur $s-u_{1}-u_{2}-\ldots$ on le multiplie par $du_{1},$ il est facile de s’assurer que l’intégrale

$\int du_{1}\left(s-u_{1}-u_{2}-\ldots \right)^{i}u_{1}^{(i')}u_{2}^{(i'')}\ldots$

prise depuis $u_{1}=0$ jusqu’à $u_{1}=s-u_{2}-\ldots$ est

${\frac {1.2.3\ldots i.1.2.3\ldots i'}{1.2.3.4\ldots (i+i'+1)}}\left(s-u_{2}-u_{3}-\ldots \right)^{i+i'+1}u_{2}^{(i'')}\ldots \,;$

en multipliant cette intégrale par $du_{2}$ et en l’intégrant depuis $u_{2}=0$ jusqu’à $u_{2}=s-u_{3}-\ldots ,$ on aura pareillement

${\frac {1.2.3\ldots i.1.2.3\ldots i'.1.2.3\ldots i''}{1.2.3.4\ldots (i+i'+i''+2)}}\left(s-u_{3}-\ldots \right)^{i+i'+i''+2}\ldots$

et ainsi de suite ; donc, si l’on suppose

${\begin{aligned}\Pi \,\ (u\,\ )=&\mathrm {A} \,\ +\mathrm {B} \,\ u\ \ +\mathrm {C} \,\ u^{2}+\ldots ,\\\Pi _{1}(u_{1})=&\mathrm {A} _{1}+\mathrm {B} _{1}u_{1}+\mathrm {C} _{1}u_{1}^{2}+\ldots ,\\\Pi _{2}(u_{2})=&\mathrm {A} _{2}+\mathrm {B} _{2}u_{2}+\mathrm {C} _{2}u_{2}^{2}+\ldots ,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et que l’on désigne par $\mathrm {H} u^{(i)}u_{1}^{(i')}u_{2}^{(i'')}$ un terme quelconque de

$\Gamma \left(u,u_{1},u_{2},\ldots \right),$

la partie correspondante de $\Gamma$$(s)$ sera

(B)

$\left\{{\begin{aligned}1.2&.3\ldots i.1.2.3\ldots i'.1.2.3\ldots i''\ldots \mathrm {H} s^{n+i+i'+i''+\ldots -1}\\&\times \left[\mathrm {A} \,\ +(i\,\ +1)\mathrm {B} \ \ s+(i\,\ +1)(i\ \ +2)\mathrm {C} \,\ s^{2}+\ldots \right]\\&\times \left[\mathrm {A} _{1}+(i'\,+1)\mathrm {B} _{1}s+(i'\,+1)(i'\,+2)\mathrm {C} _{1}s^{2}+\ldots \right]\\&\times \left[\mathrm {A} _{2}+(i''+1)\mathrm {B} _{2}s+(i''+1)(i''+2)\mathrm {C} _{2}s^{2}+\ldots \right]\\&\times \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$

pourvu que, dans le développement de cette quantité, au lieu d’une puissance quelconque $c$ de $s,$ on écrive ${\frac {s^{c}}{1.2.3\ldots c}}.$

On aura ensuite la partie correspondante de la somme entière des valeurs de $\psi (t,t_{1},t_{2},\ldots ),$ multipliées par leurs probabilités respectives,