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En continuant d’opérer ainsi, on arrivera à une fonction de

$s-q^{(i)}-q_{1}^{(i')}-q_{2}^{(i'')}-\ldots ,$

dans laquelle il ne restera aucune des variables $t,t_{1},t_{2},\ldots .$ Cette fonction doit être rejetée si $s-q^{(i)}-q_{1}^{(i')}-\ldots$ est négatif ; car il est visible que, dans ce cas, le système de fonctions $\varphi ^{(i)}(t),\varphi _{1}^{(i')}(t_{1}),$$\varphi _{2}^{(i'')}(t_{2}),\ldots$ ne peut être employé ; en effet, les plus petites valeurs de $t,t_{1},t_{2},\ldots$ étant, par la nature de ces fonctions, égales à $q_{1}^{(i')},q_{2}^{(i'')},\ldots ,$ la plus grande valeur que $t$ puisse recevoir est $s-q_{1}^{(i')}-q_{2}^{(i'')}-\ldots \,;$ partant, la plus grande valeur de $t-q^{(i)}$ est $s-q^{(i)}-q_{1}^{(i')}-q_{2}^{(i'')}-\ldots .$ Or la fonction $\varphi ^{(i)}(t)$ ne peut être employée que lorsque $t-q^{(i)}$ est positif.

Au lieu de rejeter la fonction dont il s’agit, il est égal de supposer alors dans tous les termes de cette fonction $s-q^{(i)}-q_{1}^{(i')}-\ldots$ constamment égal à zéro ; car, en ne considérant, par exemple, que les trois variables $t,t_{1},t_{2},$ la dernière intégrale relative à $dt_{2}$ devant être prise depuis $t_{2}-q_{2}^{(i'')}=0$ jusqu’à

$t_{2}-q_{2}^{(i'')}=s-q^{(i)}-q_{1}^{(i')}-q_{2}^{(i'')},$

il est visible que cette intégrale sera nulle toutes les fois que l’on supposera

$s-q^{(i)}-q_{1}^{(i')}-q_{2}^{(i'')}=0.$

Il résulte de ce que nous venons de dire une méthode très simple pour résoudre le problème proposé.

Que l’on substitue : 1^o au lieu de $t,\ q+u$ dans $\varphi '(t),\ q''+u$ dans $\varphi ''(t),\ldots \,;$ 2^o au lieu de $t_{1},\ q_{1}+u_{1}$ dans $\varphi _{1}(t_{1}),\ q'_{1}+u_{1}$ dans $\varphi '_{1}(t_{1}),\ldots \,;$ 3^o au lieu de $t_{2},\ q_{2}+u_{2}$ dans $\varphi _{2}(t_{2}),\ldots ,$ et ainsi de suite, les quantités

${\begin{aligned}&l^{q}\varphi (t)+l^{q'}\varphi '(t)+\ldots ,\\&l^{q_{1}}\varphi _{1}(t_{1})+l^{q'_{1}}\varphi '_{1}(t_{1})+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

qui représentent les probabilités de $t,t_{1},\ldots ,$ se changeront : la pre-