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dont l’intégrale sera

$z=\mathrm {A\varphi (\varpi )+A'\varphi _{1}(\varpi )+A''} \varphi _{2}(\varpi )+\ldots .$

Si l’expression de $z$ ne renferme qu’un seul terme, en sorte que l’on ait $z=\mathrm {A} \varphi (\varpi ),$ en substituant cette valeur de $z$ dans l’équation différentielle, et en égalant séparément à zéro les coefficients de $\varphi '(\varpi )$ et de $\varphi (\varpi ),$ on aura les deux équations suivantes :

${\begin{aligned}0=&{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \theta }}+m\mathrm {A} ,\\0=&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} }{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \theta }}+l\mathrm {A} .\end{aligned}}$

Si l’on fait

$z^{(1)}={\frac {\partial z}{\partial \theta }}+mz,$

on aura

$z^{(1)}=\left({\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial \theta }}+m\mathrm {A} \right)\varphi (\varpi )=0\,;$

mais l’équation

$0={\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial \theta }}+m{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}+n{\frac {\partial z}{\partial \theta }}+lz$

peut être mise sous cette forme

$0={\frac {\partial \left({\cfrac {\partial z}{\partial \theta }}+mz\right)}{\partial \theta }}+n\left({\frac {\partial z}{\partial \theta }}+mz\right)+z\left(l-{\frac {\partial m}{\partial \varpi }}-nm\right)$

ou

$0={\frac {\partial z^{(1)}}{\partial \varpi }}+nz^{(1)}+z\left(l-{\frac {\partial m}{\partial \varpi }}-nm\right)\,;$

donc, à cause de $z^{(1)}=0,$ on a

$0=l-{\frac {\partial m}{\partial \varpi }}-nm\,;$

et c’est l’équation de condition qui doit avoir lieu pour que l’on ait

$z=\mathrm {A} \varphi (\varpi ),$

ou, ce qui revient au même, pour que l’expression de $z$ ne renferme qu’un seul terme.