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La probabilité de la fonction $\psi \left(t,t_{1},t_{2},\ldots \right)$ e\ldots st évidemment égale au produit des probabilités de $t,t_{1},t_{2},\ldots ,$ en sorte que, si l’on substitue pour $t$ sa valeur $s-t_{1}-t_{2}-\ldots$ que donne l’équation

$t+t_{1}+t_{2}+\ldots =s,$

le produit de la fonction proposée par sa probabilité sera

(A)

$\left\{{\begin{aligned}\psi &\left(s-t_{1}-t_{2}-\ldots ,t_{1},t_{2},\ldots \right)\\&\times \left[l^{q}\varphi \left(s-t_{1}-t_{2}-\ldots \right)+l^{q'}\varphi '\left(s-t_{1}-t_{2}-\ldots \right)+\ldots \right]\\&\times \left[l^{q_{1}}\varphi _{1}(t_{1})+l^{q'_{1}}\varphi '_{1}(t_{1})+\ldots \right]\\&\times \left[l^{q_{2}}\varphi _{2}(t_{2})+l^{q'_{2}}\varphi '_{2}(t_{2})+\ldots \right]\\&\times \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}\right.$

On aura donc la somme de tous ces produits : 1^o en multipliant la quantité précédente par $dt_{1}$ et en l’intégrant pour toutes les valeurs dont $t_{1}$ est susceptible ; 2^o en multipliant cette intégrale par $dt_{2}$ et en l’intégrant pour toutes les valeurs dont $t_{2}$ est susceptible, et ainsi de suite jusqu’à la dernière variable $t_{n-1}\,;$ mais ces intégrations successives exigent quelques attentions particulières.

Considérons un terme quelconque de la quantité (A), tel que

$l^{q^{(i)}+q_{1}^{(i')}+q_{2}^{(i'')}+\ldots }\psi \left(s-t_{1}-t_{2}-\ldots \right)\varphi ^{(i)}\left(s-t_{1}-t_{2}-\ldots \right)$

$\times \varphi _{1}^{(i')}(t_{1})\varphi _{2}^{(i'')}(t_{2})\ldots .$

En le multipliant par $dt_{1},$ il faut l’intégrer pour toutes les valeurs possibles de $t_{1}\,;$ or il est clair que la fonction $\varphi ^{(i)}\left(s-t_{1}-t_{2}-\ldots \right)$ n’a lieu que lorsque $t$ ou $s-t_{1}-t_{2}-\ldots$ est égal ou plus grand que $q^{(i)}\,;$ la plus grande valeur que $t_{1}$ puisse recevoir est donc $s-q^{(i)}-t_{2}-t_{3}-\ldots .$ De plus, $\varphi _{1}^{(i')}(t_{1})$ n’ayant lieu que lorsque $t_{1}$ est égal ou plus grand que $q^{(i')_{1}},$ cette quantité est la plus petite valeur que $t_{1}$ puisse recevoir ; il faut donc prendre l’intégrale dont il s’agit depuis $t_{1}=q_{1}^{(i')}$ jusqu’à $t_{1}=s-q^{(i)}-t_{2}-t_{3}-\ldots$ ou, ce qui revient au même, depuis $t_{1}-q_{1}^{(i')}=0$ jusqu’à $t_{1}-q_{1}^{(i')}=s-q^{(i)}-q_{1}^{(i')}-t_{2}-\ldots .$

On trouvera de la même manière que, en multipliant cette nouvelle intégrale par $dt_{2},$ il faudra l’intégrer depuis $t_{2}-q_{2}^{(i'')}=0$ jusqu’à

$t_{2}-q_{2}^{(i'')}=s-q^{(i)}-q_{1}^{(i')}-q_{2}^{(i'')}-t_{3}-\ldots$