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de l’ordonnée $y$ à la somme de toutes les ordonnées, ou, ce qui revient au même, à l’aire entière de la courbe, exprimera la probabilité que l’adresse d’un joueur quelconque est $x.$ Cela posé, pour en conclure la loi de possibilité des valeurs de $\alpha ,$ soit $y=\varphi (x),$ et nommons $a$ l’intégrale $\int dx\varphi (x),$ prise depuis $x=h$ jusqu’à $x=h'\,;$ soient, de plus, $x$ l’adresse de celui des deux joueurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ qui est le plus faible, et $x+u$ celle du joueur le plus fort ; on aura

${\frac {x}{x+u}}={\frac {1-\alpha }{1+\alpha }},$

ce qui donne

$x+u={\frac {1+\alpha }{1-\alpha }}x.$

Or la probabilité que l’adresse de l’un des joueurs étant $x,$ celle de l’autre sera $x+u,$ est égale au double du produit des probabilités de $x$ et de $x+u,$ et par conséquent égale à

${\frac {2\varphi (x)\varphi (x+u)}{a^{2}}}={\frac {2\varphi (x)\varphi \left({\cfrac {1+\alpha }{1-\alpha }}x\right)}{a^{2}}}\,;$

on aura donc

$2\int dx{\frac {\varphi (x)\varphi \left({\cfrac {1+\alpha }{1-\alpha }}x\right)}{a^{2}}}$

pour la probabilité entière de $\alpha ,$ l’intégrale étant prise depuis $x=h$ jusqu’à $x={\frac {1-\alpha }{1+\alpha }}h'.$ Quant à la limite $q$ de $\alpha ,$ on observera que, $h$ étant la plus petite adresse et $h'$ la plus grande, on a

${\frac {h'}{h}}={\frac {1+q}{1-q}},$

d’où l’on tire

$q={\frac {h'-h}{h'+h}}.$

Lorsque la fonction $\varphi (x)$ est inconnue, il est impossible de connaître exactement le sort des deux joueurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ et l’on est réduit à choisir les fonctions les plus vraisemblables. Nous nous occuperons