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$s+s'+s''+s'''+\ldots$ autant de fois que l’on peut combiner $i-1$ quantités $r-1$ à $r-1\,;$ d’où il suit que cette somme est indépendante de $\alpha ,\alpha ',\alpha '',\ldots$ et égale à

${\frac {(i-1)(i-2)\ldots (i-r+1)}{1.2.3\ldots (r-1)}}.$

Or on prouvera facilement que, dans ce cas, la somme

$s^{n}+s'^{n}+s''^{n}+\ldots$

est la plus petite possible lorsque $s=s'=s''=\ldots ,$ ce qui suppose $\alpha =\alpha '=\alpha ''=\ldots =0\,;$ donc la valeur de $\mathrm {P}$ est la plus petite lorsque les adresses des joueurs sont égales, en sorte que l’inégalité de ces adresses favorise celui qui parie que les $n$ premières parties seront gagnées par les $r$ joueurs $\mathrm {A,B,C} ,\ldots .$

Il est visible que l’on peut faire des remarques analogues sur les jeux dans lesquels on fait usage de polyèdres, tels que le jeu des dés ; car, avec quelque soin qu’on ait formé ces polyèdres, il s’y rencontre nécessairement entre leurs différentes faces des inégalités qui résultent de l’hétérogénéité de la matière qu’on emploie et des défauts inévitables dans leur construction. En général, ces remarques ont lieu pour tous les événements dont la possibilité est inconnue et peut varier dans certaines limites ; et, si dans la suite nous considérons particulièrement les événements du jeu entre plusieurs joueurs dont les adresses sont inconnues, ce n’est que pour nous rendre plus clair, en fixant les idées sur un objet déterminé.

VI.

Il est infiniment peu probable que les adresses de deux joueurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ soient parfaitement égales ; mais, en même temps que l’on ignore de quel côté se trouve la plus grande ou la plus petite adresse, on ignore également la quantité de leur différence ; ainsi, tout ce que l’on peut conclure de la théorie précédente, c’est que le sort de tel ou tel