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Dans le cas de $\alpha =0,$ nous venons de voir que $y_{m}={\frac {m}{n}}\,;$ en sorte que, alors,

$\left(1-\alpha ^{2}\right)^{m}{\frac {\left[(1+\alpha )^{n-2m}-(1-\alpha )^{n-2m}\right]}{(1+\alpha )^{n}-(1-\alpha )^{n}}}={\frac {n-2m}{n}}\,;$

or, si l’on suppose $m$ moindre que ${\frac {n}{2}},$ il est clair que, $\alpha$ augmentant, la fraction ${\frac {(1+\alpha )^{n-2m}-(1-\alpha )^{n-2m}}{(1+\alpha )^{n}-(1-\alpha )^{n}}}$ diminue, ainsi que le facteur $\left(1-\alpha ^{2}\right)^{m}\,;$ on aura donc, dans la supposition de $\alpha$ plus grand que zéro,

$\left(1-\alpha ^{2}\right)^{m}{\frac {\left[(1+\alpha )^{n-2m}-(1-\alpha )^{n-2m}\right]}{(1+\alpha )^{n}-(1-\alpha )^{n}}}={\frac {n-2m}{n}}-2h,$

$h$ étant nécessairement positif. Partant,

$y_{m}={\frac {m}{n}}+h\,;$

d’où il suit que l’inégalité des adresses de $\mathrm {A}$ et de $\mathrm {B}$ est favorable à celui des deux joueurs qui a le plus petit nombre de jetons.

$\alpha$ restant le même, si $m$ et $n$ augmentent en conservant toujours le même rapport, il est clair que

$\left(1-\alpha ^{2}\right)^{m}{\frac {\left[(1+\alpha )^{n-2m}-(1-\alpha )^{n-2m}\right]}{(1+\alpha )^{n}-(1-\alpha )^{n}}}$

deviendra plus petit, et que l’on peut tellement faire croître $n$ et $m,$ que cette quantité soit plus petite qu’aucune grandeur donnée ; donc, si les deux joueurs conviennent de doubler, de tripler, etc. leurs jetons, leur sort, qui, dans le cas où les adresses sont égales, n’en sera point changé, deviendra très différent s’il y à une inégalité quelconque entre leurs adresses ; la probabilité de celui qui a le plus petit nombre de jetons augmentera de plus en plus, jusqu’au point de différer infiniment peu de ${\frac {1}{2}},$ et par conséquent de la probabilité de son adversaire.