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$p,q,r,\ldots ,$ ce qui est très facile, on aura $n$ équations de cette forme

${\begin{aligned}p=&\mathrm {F} \ {\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}+\mathrm {H} \ {\frac {d^{n-2}y}{dt^{n-2}}}+\ldots ,\\q=&\mathrm {F} '{\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}+\mathrm {H} '{\frac {d^{n-2}y}{dt^{n-2}}}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

$\mathrm {F,H,\ldots ,F',H'} ,\ldots$ étant des fonctions de $t$ seul. En différentiant ces équations, on aura les suivantes

${\begin{aligned}0=&\mathrm {F} \ {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+\left(\mathrm {H} \ +{\frac {d\mathrm {F} }{dt}}\ \right){\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}+\ldots ,\\0=&\mathrm {F} '{\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+\left(\mathrm {H} '+{\frac {d\mathrm {F} '}{dt}}\right){\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

qui ne peuvent être que la proposée elle-même, multipliée successivement par $\mathrm {F,F'} ,\ldots ,$ en sorte que, dans ce cas, $\mathrm {FQ,F'Q} ,\ldots$ seront uniquement fonctions de $t\,;$ l’intégrale complète de l’équation $(\gamma )$ sera donc alors, dans la supposition de $\alpha$ quelconque,

$y=u\left(p-\alpha \int \mathrm {FQ} dt\right)+u'\left(q-\alpha \int \mathrm {F'Q} dt\right)+\ldots ,$

ce qui donne, comme l’on voit, le procédé le plus direct pour conclure l’intégrale de cette équation lorsque $\alpha$ est quelconque, de son intégrale lorsque $\alpha =0.$

Il arrivera le plus souvent que les fonctions $\alpha \mathrm {FQ} dt,\alpha \mathrm {F'Q} dt,\ldots$ ne seront pas des différences exactes ; mais, si dans ce cas l’équation $(\lambda )$ n’est plus l’intégrale finie de la proposée $(\gamma ),$ elle est au moins d’une forme très avantageuse pour trouver des intégrales de plus en plus approchées ; en effet, si l’on y suppose d’abord $\alpha =0,$ on aura

$y=\varphi (t,p,q,\ldots ),$

et ce sera la première valeur de $y.$ En la substituant dans les fonctions $\mathrm {FQ} dt,\mathrm {F'Q} dt,\ldots ,$ elles deviendront fonctions de $t$ seul, et si l’on