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$\mathrm {P}$ étant fonction de $t,y,{\frac {dy}{dt}},\ldots ,{\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}$ et $\mathrm {Q}$ pouvant être de plus fonction de $\alpha \,;$ supposons que l’on sache intégrer l’équation

$0={\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+\mathrm {P} ,$

et que son intégrale soit $y=\varphi (t,p,q,r,\ldots ),\ p,q,r,\ldots$ étant des constantes arbitraires ; en différentiant cette intégrale $n-1$ fois de suite par rapport à $t,$ on aura, en y comprenant l’équation intégrale elle-même, $n$ équations au moyen desquelles on pourra obtenir, par l’élimination, les valeurs des $n$ arbitraires en fonctions de $t,y,$${\frac {dy}{dt}},\ldots ,{\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}.$ Soient $\mathrm {V,V',V''} ,\ldots$ ces fonctions, en sorte que

$p=\mathrm {V} ,\qquad q=\mathrm {V} ',\qquad r=\mathrm {V} '',\qquad \ldots ,$

on aura, en différentiant,

$0=d\mathrm {V} ,\qquad 0=d\mathrm {V} ',\qquad 0=d\mathrm {V} '',\qquad \ldots ,$

or il est clair que ces différentes équations ne peuvent être que le produit de celle-ci

$0={\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+\mathrm {P}$

par différents facteurs qui la rendent intégrale et qui sont les coefficients de ${\frac {d^{n}y}{dt^{n-1}}}$ dans ces équations. Soient $\mathrm {F,F'} ,\ldots$ ces coefficients, et l’on aura

${\begin{aligned}d\mathrm {V} \ =&\mathrm {F} \ dt\left({\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+\mathrm {P} \right),\\d\mathrm {V} '=&\mathrm {F} 'dt\left({\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+\mathrm {P} \right),\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

cela posé, si l’on multiplie la proposée $(\gamma )$ successivement par $\mathrm {F} dt,\mathrm {F} 'dt,\ldots ,$ elle prendra les $n$ formes suivantes

${\begin{aligned}0=&d\mathrm {V\ +\alpha F\ Q} dt,\\0=&d\mathrm {V'+\alpha F'Q} dt,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$