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équations, substituées dans $\mathrm {X} ,$ donneront sur-le-champ l’expression rigoureuse de $y.$

Si les valeurs de $\mathrm {X}$ et de $\mathrm {Y}$ ne sont exactes qu’aux quantités près d’un certain ordre, l’expression de $y,$ à laquelle on parviendra, ne sera exacte qu’aux quantités près de cet ordre ; mais la forme des quantités qu’elle renferme sera la même que dans l’expression rigoureuse : si l’on trouve, par exemple, dans cette valeur des exponentielles sans imaginaires, ou même des arcs de cercle, on sera sur qu’il s’en rencontre dans l’expression rigoureuse, et qu’il est, par conséquent, impossible de les éviter.

VIII.

La théorie que nous venons d’exposer renferme, d’une manière générale, le cas des équations linéaires que nous avons discuté dans l’article IV ; si l’on nomme, en effet, $\mathrm {S}$ la partie de $\mathrm {R}$ dans l’équation (A’), qui ne renferme point d’arc de cercle, et $\mathrm {S} 't$ la partie de cette même quantité qui renferme l’arc $t$ élevé à la première puissance, en comparant cette équation avec celle-ci

$y=\mathrm {X} +\mathrm {Y} t+\mathrm {Z} t^{2}+\ldots ,$

on aura

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&p\sin ht+q\cos ht+\mathrm {S} ,\\\mathrm {Y} =&\mathrm {A} \sin ht+\mathrm {M} \cos ht+\mathrm {S} '\,;\end{aligned}}$

l’équation

$\mathrm {Y} ={\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial \theta }}+\ldots$

deviendra donc

$\mathrm {A} \sin ht+\mathrm {M} \cos ht+\mathrm {S} '={\frac {\partial p}{\partial \theta }}\sin ht+{\frac {\partial q}{\partial \theta }}\cos ht+{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \mathrm {S} }{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial \theta }}.$

Si l’on compare séparément les coefficients de $\sin ht$ et de $\cos ht$ on a

${\frac {\partial p}{\partial \theta }}=\mathrm {A} ,\qquad {\frac {\partial q}{\partial \theta }}=\mathrm {M} \,;$

de sorte que l’on aura, par l’article précédent, $y,$ en intégrant les