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l’équation ${\frac {\partial u}{\partial \theta }}=\mathrm {Y}$ deviendra donc

$\mathrm {Y} ={\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial \theta }}+\ldots .$

Cette équation, ayant lieu quel que soit $t,$ donnera, en la différenciant $n-1$ fois par rapport à $t,$

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial t}}\ \,=&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {X} }{\partial p\partial t}}\ \,{\frac {\partial p}{\partial \theta }}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {X} }{\partial q\partial t}}\ \,{\frac {\partial q}{\partial \theta }}+\ldots ,\\{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Y} }{\partial t^{2}}}=&{\frac {\partial ^{3}\mathrm {X} }{\partial p\partial t^{2}}}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}+{\frac {\partial ^{3}\mathrm {X} }{\partial q\partial t^{2}}}{\frac {\partial q}{\partial \theta }}+\ldots ,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

En déterminant ${\frac {\partial p}{\partial \theta }},{\frac {\partial q}{\partial \theta }},\ldots$ au moyen de ces $n$ équations, on aura

${\frac {\partial p}{\partial \theta }}=\mathrm {X} ',\qquad {\frac {\partial q}{\partial \theta }}=\mathrm {Y} ',\qquad \ldots ,$

$\mathrm {X',Y'} ,\ldots$ étant des fonctions de $p,q,\ldots$ sans $t,$ puisque les valeurs de ${\frac {\partial p}{\partial \theta }},{\frac {\partial q}{\partial \theta }},\ldots$ doivent être indépendantes de cette variable.

Cette considération peut servir à déterminer ces valeurs uniquement par l’inspection de l’équation

$Y={\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}+\ldots$

et d’une manière souvent plus simple qu’avec le secours de ses différentielles, en égalant à zéro les coefficients des différents sinus et cosinus.

En changeant $\theta$ en $t$ dans les équations

${\frac {\partial p}{\partial \theta }}=\mathrm {X} ',\qquad {\frac {\partial q}{\partial \theta }}=\mathrm {Y} ',\qquad \ldots ,$

on aura les suivantes

${\frac {\partial p}{\partial t}}=\mathrm {X} ',\qquad {\frac {\partial q}{\partial t}}=\mathrm {Y} ',\qquad \ldots ,$

et les valeurs de $p,q,\ldots$ que l’on trouvera en intégrant ces dernières