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$u$ étant égal à $\varphi \left(t,a+m\theta ,b+m'\theta ,\ldots \right)\,;$ or il est visible : 1^o que $u,{\frac {\partial u}{\partial \theta }},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta }},\ldots$ renferment les $n$ arbitraires $a+m\theta ,b+m'\theta ,\ldots \,;$ 2^o que l’arbitraire $\theta ,$ qui se trouve dans les arcs de cercle $t-\theta ,(t-\theta )^{2},\ldots$ de la série précédente, rentre dans ces $n$ arbitraires et ne fait que les changer en $a,b,\ldots \,;$ 3^o que ce ne peut être que de cette manière que l’arbitraire $\theta$ de la suite $\mathrm {X+Y} (t-\theta )+\mathrm {Z} (t-\theta )^{2}+\ldots$ rentre dans les $n$ arbitraires $p,q,\ldots .$ Cette suite doit donc être la même que celle-ci, $u+{\frac {\partial u}{\partial \theta }}(t-\theta )+\ldots ,$ ce qui donne

$u=\mathrm {X} ,\qquad {\frac {\partial u}{\partial \theta }}=\mathrm {Y} ,\qquad \ldots .$

Si l’on représente maintenant par $\psi (t,p,q,\ldots )$ la fonction $\mathrm {X}$ que nous supposons connue, l’équation $u=\mathrm {X}$ donnera

$\varphi \left(t,a+m\theta ,b+m'\theta ,\ldots \right)=\psi (t,p,q,\ldots )\,;$

$p,q,\ldots$ sont, par conséquent, fonctions de $a+m\theta ,b+m'\theta ,\ldots .$ Soit

${\begin{aligned}p=&\Pi \,\ \left(a+m\theta ,b+m'\theta ,\ldots \right),\\q=&\Pi _{1}\left(a+m\theta ,b+m'\theta ,\ldots \right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et l’on aura l’équation identique

$\varphi \left(t,a+m\theta ,b+m'\theta ,\ldots \right)$

$=\psi \left[t,\Pi \left(a+m\theta ,b+m'\theta ,\ldots \right),\ \Pi _{1}\left(a+m\theta ,b+m'\theta ,\ldots \right),\ldots \right].$

En changeant $\theta$ en $t,$ les deux membres de cette équation se changent dans l’expression rigoureuse de $y\,;$ il suffit donc, pour avoir cette expression, de déterminer $p,q,\ldots$ en fonctions de $\theta ,$ de changer dans ces valeurs $\theta$ en $t$ et de les substituer ensuite dans la fonction $\mathrm {X} \,:$ la question est ainsi réduite à déterminer ces valeurs.

Si l’on différentie l’équation $u=\mathrm {X}$ relativement à $\theta ,$ on aura

${\frac {\partial u}{\partial \theta }}={\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial \theta }}+\ldots \,;$