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VII.

Considérons plus particulièrement ce genre d’équations différentielles qui ne renferment point d’arcs de cercle, mais dont les intégrales, obtenues par les méthodes ordinaires d’approximation, en renferment. Pour cela, soit l’équation différentielle de l’ordre $n$

$0={\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+\mathrm {P} ,$

$\mathrm {P}$ étant fonction de $y$ et de ses différences, de sinus, de cosinus, d’exponentielles, etc. sans arcs de cercle. Supposons qu’en l’intégrant par approximation, suivant les méthodes ordinaires, on ait

$y=\mathrm {X} +\mathrm {Y} t+\mathrm {Z} t^{2}+\ldots \,;$

$\mathrm {X,Y,Z} ,\ldots$ étant des fonctions de sinus, de cosinus, d’exponentielles et de $n$ constantes arbitraires, $p,q,\ldots ,$ il est facile de prouver, comme dans l’article IV, que cette valeur de $y$ satisferait encore à la proposée, en y changeant les arcs de cercle $t$ en $t-\theta ,$ en sorte que l’on peut supposer

$y=\mathrm {X} +\mathrm {Y} (t-\theta )+\mathrm {Z} (t-\theta )^{2}+\ldots \,;$

cette seconde expression de $y$ renferme $n+1$ arbitraires qui doivent se réduire à $n.$ Pour concevoir la possibilité de cette réduction, représentons l’expression rigoureuse et inconnue de $y$ par

$\varphi (t,a+mt,b+m't,\ldots ),$

$a,b,\ldots$ étant des constantes arbitraires ; en la mettant sous celle forme

$\varphi \left[t,a+m\theta +m(t-\theta ),b+m'\theta +m'(t-\theta ),\ldots \right]$

et en la réduisant dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de $t-\theta ,$ on aura, comme l’on sait,

$y=u+{\frac {\partial u}{\partial \theta }}(t-\theta )+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial ^{2}\theta }}{\frac {(t-\theta )^{2}}{1.2}}+\ldots ,$