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$\mathrm {Y} '',\ldots$ étant fonctions rationnelles et entières de sinus, de cosinus, de $\alpha ,$ des $n$ quantités $y,y',y'',\ldots$ et de leurs différences ; en les intégrant par les méthodes ordinaires, on aura

${\begin{aligned}y\ \,=\left(p\ \,+\mathrm {A} \ \,t+\mathrm {B} \ \,t^{2}+\ldots \right)&\sin h\ \,t\\+&\left(q\ \,+\mathrm {M} \ \,t+\mathrm {N} \ \,t^{2}+\ldots \right)\cos h\ \,t+\mathrm {R} ,\\y'\,=\left(p'\,+\mathrm {A} '\,t+\mathrm {B} '\,t^{2}+\ldots \right)&\sin h'\,t\\+&\left(q'\,+\mathrm {M} '\,t+\mathrm {N} '\,t^{2}+\ldots \right)\cos h'\,t+\mathrm {R} ',\\y''=\left(p''+\mathrm {A} ''t+\mathrm {B} ''t^{2}+\ldots \right)&\sin h''t\\+&\left(q''+\mathrm {M} ''t+\mathrm {N} ''t^{2}+\ldots \right)\cos h''t+\mathrm {R} '',\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

$\mathrm {A,B,\ldots ,M,N,\ldots ,A',B'} ,\ldots$ étant des fonctions de $\alpha ,p,p',p'',\ldots ,$$q,q',q'',\ldots ,\ \mathrm {R}$ étant fonction de ces quantités, de l’arc $t$ et de sinus et de cosinus autres que $\sin ht$ et $\cos ht\,;\ \mathrm {R} '$ étant fonction de ces mêmes quantités, de l’arc $t$ et de sinus et de cosinus autres que $\sin h't$ et $\cos h't,$ et ainsi de suite. Cela posé, pour faire disparaître les arcs de cercle de ces expressions, il suffit d’effacer tous les termes qui en renferment ; mais alors il faut considérer $p,p',p'',\ldots ,q,q',q'',\ldots$ comme autant de variables données par les équations

${\begin{alignedat}{2}{\frac {dp}{dt}}\ \,=&\mathrm {A} ,&{\frac {dq}{dt}}\ \,=&\mathrm {M} ,\\{\frac {dp'}{dt}}\,=&\mathrm {A} ',&{\frac {dq'}{dt}}\,=&\mathrm {M} ',\\{\frac {dp''}{dt}}=&\mathrm {A} '',\qquad &{\frac {dq''}{dt}}=&\mathrm {M} '',\\\ldots \ldots &\ldots ,&\ldots \ldots &\ldots ,\end{alignedat}}$

Dans le cas des perturbations du mouvement des planètes, si l’on ne porte la précision que jusqu’aux quantités de l’ordre $\alpha ,$ ces équations sont linéaires et faciles à intégrer par les méthodes connues (voir la seconde Partie des Mémoires de 1772, page 360) ^[1]. Si l’on voulait une approximation plus exacte, les équations précédentes ne seraient plus linéaires ; mais il serait aisé de les ramener à cette forme par le procédé que nous avons donné dans les mêmes Mémoires, pages 287 et 311 ^[2].

1. Œuvres de Laplace, T. VIII, p. 461.
2. Ibid., p. 389 et p. 413.