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et l’on déterminera $p$ et $q$ au moyen des équations

${\frac {dp}{dt}}=-{\frac {\alpha mq}{4}}\left(1+{\frac {3\alpha m}{16}}\right),\qquad {\frac {dq}{dt}}=-{\frac {\alpha mp}{4}}\left(1-{\frac {3\alpha m}{16}}\right).$

Pour les intégrer, on supposera, suivant les méthodes connues,

$p=fe^{\mu t},\qquad q=ge^{\mu t},$

$e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, et l’on aura

$f\mu =-{\frac {\alpha m}{4}}g\left(1+{\frac {3\alpha m}{16}}\right),\qquad g\mu =-{\frac {\alpha m}{4}}f\left(1-{\frac {3\alpha m}{16}}\right),$

d’où l’on tire, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{3},$

$\mu =\pm {\frac {\alpha m}{4}},\qquad g=\mp f\left(1-{\frac {3\alpha m}{16}}+{\frac {9\alpha ^{2}m^{2}}{512}}\right)\,;$

donc, si l’on désigne par $f$ et $f'$ deux constantes arbitraires, on aura

$p=fe^{{\frac {\alpha m}{4}}t}+f'e^{-{\frac {\alpha m}{4}}t}$

et

$q=\left(1-{\frac {3\alpha m}{16}}+{\frac {9\alpha ^{2}m^{2}}{512}}\right)\left(f'e^{-{\frac {\alpha m}{4}}t}-fe^{{\frac {\alpha m}{4}}t}\right).$

VI.

Il est facile d’étendre la règle de l’article IV à un nombre quelconque d’équations et de variables ; si l’on a, par exemple, les $n$ équations

${\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\ \,+h^{2}\ \,y\ \,+\mathrm {T} \ \,+\alpha \mathrm {Y} ,\\0=&{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}\,+h'^{2}\,y'\,+\mathrm {T} '\,+\alpha \mathrm {Y} ',\\0=&{\frac {d^{2}y''}{dt^{2}}}+h''^{2}y''+\mathrm {T} ''+\alpha \mathrm {Y} '',\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

qui renferment celles du mouvement des corps célestes, $\mathrm {T,T',T''} ,\ldots$ étant fonctions rationnelles et entières de sinus et de cosinus, et $\mathrm {Y,Y'} ,$