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$\Gamma \left(p,{\frac {dp}{dt}}\right)$ représentant une fonction de $p$ et de ${\frac {dp}{dt}}.$ Cette équation est du second ordre ; pour l’abaisser au premier, soit ${\frac {dp}{dt}}=y,$ et l’on aura

${\frac {dy}{dt}}=\Gamma (p,y)={\frac {\Gamma (p,y)}{y}}y,$

partant

$dy={\frac {\Gamma (p,y)}{y}}dp.$

Cette dernière équation est du premier ordre, et son intégrale donnera

$y={\text{⅃}}(p,a),$

$a$ étant une constante arbitraire et ${\text{⅃}}(p,a)$ désignant une fonction de $p$ et de $a\,;$ donc

${\frac {dp}{dt}}={\text{⅃}}(p,a),$

d’où l’on tire

$t+b=\int {\frac {dp}{{\text{⅃}}(p,a)}},$

$b$ étant une seconde arbitraire. On aura, au moyen de cette équation, la valeur de $p$ en fonction de $t+b$ et de $a,$ et, en la substituant dans $\Pi \left(p,{\frac {dp}{dt}}\right),$ on aura $q$ en fonction des mêmes quantités.

V.

Si l’on applique la règle précédente à l’intégration de l’équation $(a),$ on aura, en effaçant les arcs de cercle de l’équation $(a'),$

${\begin{aligned}y=p\sin t+q\cos t&+{\frac {\alpha mp}{16}}\left(1+{\frac {3\alpha m}{16}}\right)\sin 3t\\&+{\frac {\alpha mq}{16}}\left(1-{\frac {3\alpha m}{16}}\right)\cos 3t\\&+{\frac {\alpha ^{2}m^{2}p}{768}}\sin 5t+{\frac {\alpha ^{2}m^{2}q}{768}}\cos 5t,\end{aligned}}$