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l’arc $\theta ,$ ce qui ne peut être, à moins que, dans le cas général, $\mathrm {R} ''$ ne renferme point l’arc $t.$ La substitution des valeurs de $p$ et de $q$ en $p'',q''$ et $t$ dans $\mathrm {R}$ en fait donc disparaître les arcs de cercle ; d’où il suit que l’on aura la même valeur de $\mathrm {R} '',$ en ne tenant aucun compte de ces arcs dans les valeurs de $\mathrm {R} ,p$ et $q,$ ce qui donne

$p=p''\qquad {\text{et}}\qquad q=q''\,;$

partant, on formera $\mathrm {R} ''$ de $\mathrm {R} ,$ en changeant dans cette dernière quantité $p$ et $q$ en $p''$ et $q''$ et en effaçant tous les termes qui renferment des arcs de cercle.

De là résulte cette règle fort simple pour avoir l’intégrale approchée de l’équation (A) sans arcs de cercle, lorsque cela est possible :

Intégrez les équations (B) par les méthodes ordinaires et formez ainsi l’équation (A’) ; vous en ferez disparaître les arcs de cercle en effaçant tous les termes qui en renferment ; mais alors, au lieu de supposer $p$ et $q$ constants, il faut les considérer comme des variables données par les équations

${\frac {dp}{dt}}=\mathrm {A} ,\qquad {\frac {dq}{dt}}=\mathrm {M} .$

Pour intégrer ces deux équations, on différenciera la première, et l’on aura la suivante

${\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}={\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial p}}{\frac {dp}{dt}}+{\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial q}}{\frac {dq}{dt}},$

qui, à cause de ${\frac {dq}{dt}}=\mathrm {M} ,$ devient

${\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}={\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial p}}{\frac {dp}{dt}}+\mathrm {M} {\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial q}}\,;$

maintenant, on tirera de l’équation ${\frac {dp}{dt}}=\mathrm {A}$ la valeur de $q,$ exprimée par une fonction de $p$ et de ${\frac {dp}{dt}},$ que nous désignerons par $\Pi \left(p,{\frac {dp}{dt}}\right),$ et, en la substituant dans l’équation précédente, on aura une équation de cette forme

${\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}=\Gamma \left(p,{\frac {dp}{dt}}\right),$