Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 9.djvu/376

$p''$ et $q''$ sont des fonctions de $t$ que nous représenterons par $\varphi (t)$ et $\psi (t).$ La comparaison des équations (A$''$) et (A$'''$) donnera ainsi les suivantes :

${\begin{aligned}\varphi (t)=&p'+\mathrm {A} '(t-\theta )+\mathrm {B} '(t-\theta )^{2}+\ldots ,\\\psi (t)=&q'+\mathrm {M} '(t-\theta )+\mathrm {N} '(t-\theta )^{2}+\ldots .\end{aligned}}$

Il résulte de ces équations : 1^o que

$p'=\varphi (\theta )\qquad {\text{et}}\qquad q'=\psi (\theta )\,;$

2^o que les deux suites

$p'+\mathrm {A} '(t-\theta )+\mathrm {B} '(t-\theta )^{2}+\ldots$

et

$q'+\mathrm {M} '(t-\theta )+\mathrm {N} '(t-\theta )^{2}+\ldots$

ne sont que le développement des deux fonctions

$\varphi (\theta -t-\theta )\qquad {\text{et}}\qquad \psi (\theta +t-\theta )$

en séries ordonnées par rapport aux puissances de $t-\theta ,$ de sorte que l’on a, par la théorie des suites,

${\frac {\partial \varphi (\theta )}{\partial \theta }}=\mathrm {A} ',\qquad {\frac {\partial \psi (\theta )}{\partial \theta }}=\mathrm {M} '\,;$

partant, si l’on change dans ces équations $\theta$ en $t,$ ce qui transforme $p'$ et $q'$ en $p''$ et $q'',$ et que l’on désigne par $\mathrm {A} ''$ et $\mathrm {M} ''$ des fonctions de $p''$ et de $q'',$ semblables à celles de $\mathrm {A} '$ et de $\mathrm {M} '$ en $p'$ et $q',$ ou de $\mathrm {A}$ et de $\mathrm {M}$ en $p$ et $q,$ on aura les équations

${\frac {dp''}{dt}}=\mathrm {A} '',\qquad {\frac {dq''}{dt}}=\mathrm {M} '',$

au moyen desquelles on déterminera $p''$ et $q''.$

Pour ce qui regarde $\mathrm {R} '',$ la comparaison des équations (A$''$) et (A$'''$) donne encore $\mathrm {R''=R'} \,;$ or, si l’on suppose dans cette équation $t=0,\ p''$ et $q''$ se changent en $p'$ et $q'.$ De plus, les arcs de cercle $t-\theta$ disparaissent de $\mathrm {R} '\,;$ donc l’expression de $\mathrm {R} ''$ devant être identiquement la même que celle de $\mathrm {R} '$ ne doit point, dans ce cas particulier, renfermer