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Cette valeur, substituée dans la troisième des équations $(b),$ donne

${\begin{aligned}0={\frac {d^{2}z''}{dt^{2}}}&+z''+\left({\frac {m^{2}q}{8}}t+{\frac {m^{2}p}{32}}\right)\sin t-\left({\frac {m^{2}p}{8}}t-{\frac {m^{2}q}{32}}\right)\cos t\\&-{\frac {m^{2}q}{8}}t\sin 3t-{\frac {m^{2}p}{8}}t\cos 3t\\&+{\frac {m^{2}p}{32}}\ \ \sin 5t+{\frac {m^{2}q}{32}}\ \ \cos 5t.\end{aligned}}$

En représentant par

$\left(\mathrm {A} t^{2}+\mathrm {B} t\right)\sin t+\left(\mathrm {C} t^{2}+\mathrm {D} t\right)\cos t$

la partie de l’expression de $z''$ qui répond aux deux termes

$\left({\frac {m^{2}q}{8}}t+{\frac {m^{2}p}{32}}\right)\sin t\quad {\text{et}}\quad -\left({\frac {m^{2}p}{8}}t-{\frac {m^{2}q}{32}}\right)\cos t,$

et en la substituant dans l’équation différentielle, la comparaison des termes semblables donnera

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {A} =&{\frac {m^{2}p}{32}},\qquad &\mathrm {B} =&-{\frac {3m^{2}q}{64}},\\\mathrm {C} =&{\frac {m^{2}q}{32}},&\mathrm {D} =&\quad {\frac {3m^{2}p}{64}}.\end{alignedat}}$

Si l’on représente ensuite par

$(\mathrm {M} t+\mathrm {N} )\sin 3t+(\mathrm {P} t+\mathrm {Q} )\cos 3t$

la partie de $z''$ qui répond aux termes $-{\frac {m^{2}q}{8}}t\sin 3t$ et $-{\frac {m^{2}p}{8}}t\cos 3t,$ on trouvera

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {M} =&-{\frac {m^{2}q}{64}},\qquad &\mathrm {B} =&\quad {\frac {3m^{2}p}{256}},\\\mathrm {P} =&-{\frac {m^{2}p}{64}},&\mathrm {Q} =&-{\frac {3m^{2}q}{256}}.\end{alignedat}}$

Enfin la partie de $z''$ qui répond aux termes ${\frac {m^{2}p}{32}}\sin 5t$ et ${\frac {m^{2}q}{32}}\cos 5t$ sera, par ce qui précède,

${\frac {m^{2}p}{768}}\sin 5t+{\frac {m^{2}q}{768}}\cos 5t\,;$