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équations donne, comme l’on sait, en l’intégrant,

$z||p\sin t+q\cos t,$

$p$ et $q$ étant deux constantes arbitraires ; cette valeur de $z,$ substituée dans la seconde équation, la change dans celle-ci

${\begin{aligned}0={\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}+z'&-{\frac {mp}{2}}\sin \ \ t+{\frac {mq}{2}}\cos \ \ t\\&+{\frac {mp}{2}}\sin 3t+{\frac {mq}{2}}\cos 3t.\end{aligned}}$

Pour y satisfaire, nous représenterons par $\mathrm {A} t\sin t+\mathrm {B} t\cos t$ la partie de $z'$ qui répond aux termes $-{\frac {mp}{2}}\sin t$ et ${\frac {mq}{2}}\cos t,\ \mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des coefficients qu’il s’agit de déterminer ; pour cela, on substituera cette partie de l’expression de $z'$ dans l’équation différentielle, et l’on trouvera, en comparant les termes semblables,

$\mathrm {A} =-{\frac {mq}{4}},\qquad \mathrm {B} =-{\frac {mp}{4}}.$

Quant aux termes ${\frac {mp}{2}}\sin 3t$ et ${\frac {mq}{2}}\cos 3t,$ nous observerons que, en général, si le terme $\mathrm {K} \sin(\mu t+\varepsilon )$ ou $\mathrm {K} \cos(\mu t+\varepsilon )$ se rencontre dans l’équation différentielle en $z'$ et que l’on désigne par $\mathrm {M} \sin(\mu t+\varepsilon )$ ou $\mathrm {M} \cos(\mu t+\varepsilon )$ la partie de $z'$ qui y répond, on aura

$\mathrm {M={\frac {K}{\mu ^{2}-1}}} \,;$

d’où il est aisé de conclure que les termes ${\frac {mp}{2}}\sin 3t$ et ${\frac {mq}{2}}\cos 3t$ produisent dans l’expression de $z'$ la quantité

${\frac {mp}{16}}\sin 3t+{\frac {mq}{16}}\cos 3t\,;$

la valeur entière de $z'$ sera donc

${\begin{aligned}z'=&-{\frac {mq}{4}}t\sin t-{\frac {mq}{4}}t\cos t\\&+{\frac {mp}{16}}\sin 3t+{\frac {mq}{16}}\cos 3t.\end{aligned}}$