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où il est visible : 1^o que $\mathrm {T}$ sera fonction de sinus et de cosinus ; 2^o que $\mathrm {T} '$ sera fonction de sinus, de cosinus et de $z\,;$ 3^o que $\mathrm {T} ''$ sera fonction de sinus, de cosinus, de $z$ et de $z',$ et ainsi de suite. Ces équations seront au nombre $n+1$ si l’on veut porter l’approximation jusqu’aux quantités de l’ordre $\alpha ^{n},$ et il sera facile de les intégrer par les méthodes ordinaires ; mais, le plus souvent, il en résultera dans les intégrales des arcs de cercle, qui, après un temps considérable, les rendront fautives. C’est à se débarrasser de ces arcs, lorsque cela est possible, que consiste la principale difficulté de ce genre d’intégrations.

III.

Pour éclaircir ce que nous venons de dire, et pour répandre en même temps un plus grand jour sur ce qui va suivre, nous allons appliquer à un exemple particulier les méthodes ordinaires d’approximation. Soit l’équation différentielle

$(a)\qquad \qquad \qquad \qquad 0={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+y+\alpha my\cos 2t,$

dont on propose de trouver l’intégrale approchée jusqu’aux quantités de l’ordre $\alpha ^{2}\,;$ on fera

$y=z+az'+\alpha ^{2}z'',$

et l’on aura les trois équations

(b)$\qquad \qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\,\ +z,\\0=&{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}\,+z'\,+mz\cos 2t,\\0=&{\frac {d^{2}z''}{dt^{2}}}+z''+mz'\cos 2t.\end{aligned}}\right.$

En les intégrant, on peut se contenter de satisfaire aux deux dernières et se dispenser d’ajouter des constantes arbitraires à leurs intégrales, parce que la valeur de $z$ en renferme deux, qui, se trouvant dans l’expression de $y,$ la rendent complète. Cela posé, la première de ces