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de l’article précédent, on laisse subsister $y,$ et que l’on détermine $\varpi$ de manière qu’il satisfasse à l’équation

${\frac {\partial \varpi }{\partial x}}=-{\frac {1}{2}}\alpha {\frac {\partial \varpi }{\partial y}},$

on aura $x$ en fonction de $\varpi$ et de $y,$ et, si l’on considère $z$ comme fonction de $\varpi$ et de $y,$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {\partial z}{\partial x}}=&{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}{\frac {\partial \varpi }{\partial x}},\\{\frac {\partial z}{\partial y}}=&{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}{\frac {\partial \varpi }{\partial y}}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)^{1},\\\end{aligned}}$

$\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)^{1}$ étant le coefficient de $dy,$ dans la différence de $z,$ considéré comme fonction de $\varpi$ et de $y\,;$ on aura ensuite

${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}=&{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi ^{2}}}{\frac {\partial \varpi ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}{\frac {\partial ^{2}\varpi }{\partial x^{2}}},\\{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}=&{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi ^{2}}}{\frac {\partial \varpi }{\partial x}}{\frac {\partial \varpi }{\partial y}}+\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial y}}\right)^{1}{\frac {\partial \varpi }{\partial x}}+{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}{\frac {\partial ^{2}\varpi }{\partial x\partial y}},\\{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}=&{\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi ^{2}}}{\frac {\partial \varpi ^{2}}{\partial y^{2}}}+\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}\right)^{1}+{\frac {\partial z}{\partial \varpi }}{\frac {\partial ^{2}\varpi }{\partial y^{2}}}+2\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial \varpi \partial y}}\right)^{1}{\frac {\partial \varpi }{\partial y}}.\end{aligned}}$

Si l’on substitue ces valeurs dans l’équation (L) de l’article précédent, et que l’on considère que ϐ$={\frac {1}{4}}\alpha ^{2}$ et ${\frac {\partial \varpi }{\partial x}}=-{\frac {1}{2}}\alpha {\frac {\partial \varpi }{\partial y}},$ on trouvera facilement qu’elle peut être mise sous cette forme

$0=\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}\right)^{1}+\gamma '\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)^{1}+\delta {\frac {\partial z}{\partial \varpi }}+{\text{ϐ}}'z+\mathrm {T} '\,;$

ainsi les deux cas que nous discutons ici conduisent l’un et l’autre à une équation aux différences partielles de cette forme

(H)

$0={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+\gamma {\frac {\partial z}{\partial x}}+\delta {\frac {\partial z}{\partial y}}+{\text{ϐ}}z+\mathrm {T} \,;$

or on prouvera comme ci-dessus que, si l’intégrale de cette équation est possible en termes finis, que l’on suppose une des fonctions arbi-