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est réductible à cette forme

${\begin{aligned}z=\mathrm {R} &+\mathrm {A\varphi (\varpi )+A'\varphi _{1}(\varpi )+A''} \varphi _{2}(\varpi )+\ldots \\&+\mathrm {B} \int \mathrm {C} \varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {B} '\int \mathrm {C} '\varphi (\varpi )d\varpi +\ldots \\&+\mathrm {D} \int \mathrm {E} d\theta \int \mathrm {F} \varphi (\varpi )d\varpi +\mathrm {D} '\int \mathrm {E} 'd\theta \int \mathrm {F} '\varphi (\varpi )d\varpi +\ldots \\&+\mathrm {G} \int \mathrm {H} d\varpi \int \mathrm {I} d\theta \int \mathrm {K} \varphi (\varpi )d\varpi +\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+a\psi (\theta )+a'\psi _{1}(\theta )+\ldots \\&+b\int c\psi (\theta )d\theta +\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$

VI.

Les recherches précédentes sont fondées sur la transformation des variables $x$ et $y$ dans celles-ci, $\varpi$ et $\theta \,;$ mais il peut arriver qu’elle soit impossible dans deux cas qu’il est nécessaire de discuter.

Le premier a lieu lorsque $\alpha =0$ et ϐ$=0\,;$ l’équation (L) de l’article précédent devient dans ce cas

$0={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+\gamma {\frac {\partial z}{\partial x}}+\delta {\frac {\partial z}{\partial y}}+\lambda z+\mathrm {T} ,$

et l’on a

${\frac {\partial \varpi }{\partial x}}=0\qquad$et$\qquad {\frac {\partial \theta }{\partial x}}=0,$

ce qui indique que $\varpi$ et $\theta$ sont fonctions de $y$ seul, en sorte qu’il n’est pas possible alors d’avoir $x$ en fonction de $\varpi$ et de $\theta .$

Le second cas a lieu lorsque ϐ$={\frac {1}{4}}\alpha ^{2}\,;$ on a dans ce cas

${\frac {\partial \varpi }{\partial x}}=-{\frac {1}{2}}\alpha {\frac {\partial \varpi }{\partial y}}\qquad$et$\qquad {\frac {\partial \theta }{\partial x}}=-{\frac {1}{2}}\alpha {\frac {\partial \theta }{\partial y}}\,;$

partant, $\varpi$ est fonction de $\theta \,;$ les deux variables $\varpi$ et $\theta$ ne sont donc point indépendantes l’une de l’autre, et, puisque $x$ et $y$ sont indépendants l’un de l’autre, ils ne peuvent être donnés chacun par une fonction de $\varpi$ et de $\theta .$ Supposons conséquemment que, dans l’équation (L)