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Soient donc $2\mathrm {H}$ la somme des produits de chaque molécule de cette sphère par le carré de sa distance à l’axe de rotation et $\psi$ l’inclinaison du plan de projection sur l’équateur terrestre ; il est aisé de voir que l’on aura

$\mathrm {M} =n\mathrm {H} \cos \psi \,;$

or on trouvera facilement, par les formules de la Trigonométrie sphérique,

$\cos \psi =\cos \theta \sin \varepsilon +\sin \theta \cos \varepsilon \cos(\varpi -\varphi )\,;$

l’expression précédente de $\alpha \delta {\frac {d\mathrm {A} }{dt}}$ deviendra ainsi

(1)

$\left\{{\begin{aligned}\alpha \delta {\frac {d\mathrm {A} }{dt}}=\alpha n&\mathrm {H} \left\{\delta \varphi \sin \theta \cos \varepsilon \sin(\varpi -\varphi )\right.\\&\qquad \left.+\delta \varepsilon \left[\cos \theta \cos \varepsilon -\sin \theta \sin \varepsilon \cos(\varpi -\varphi )\right]\right\}\\&+\alpha \mathrm {H} \delta n\left[\cos \theta \sin \varepsilon +\sin \theta \cos \varepsilon \cos(\varpi -\varphi )\right].\end{aligned}}\right.$

Cherchons présentement l’expression de cette quantité, dans le cas où la Terre est un sphéroïde recouvert d’un fluide de peu de profondeur.

Soient $\delta \varphi ',\delta \varepsilon '$ et $\delta n'$ les variations de $\varphi ,\varepsilon$ et $n,$ relativement au sphéroïde, en ne conservant dans l’expression de ces variations que les termes ou proportionnels au temps, ou multipliés par des sinus et des cosinus d’angles croissant très lentement et divisés par le coefficient du temps dans ces angles ; il est clair, par ce qui précède, qu’il en résulte dans la valeur de ${\frac {d\mathrm {A} }{dt}}$ une variation à très peu près égale à

${\begin{aligned}\alpha n&\mathrm {H} \left\{\delta \varphi '\sin \theta \cos \varepsilon \sin(\varpi -\varphi )+\delta \varepsilon '\left[\cos \theta \cos \varepsilon -\sin \theta \sin \varepsilon \cos(\varpi -\varphi )\right]\right\}\\&+\alpha \mathrm {H} \delta n'\left[\cos \theta \sin \varepsilon +\sin \theta \cos \varepsilon \cos(\varpi -\varphi )\right],\end{aligned}}$

le peu de profondeur du fluide permettant de regarder $2\mathrm {H}$ comme représentant encore le produit de chaque molécule du sphéroïde par le carré de sa distance à l’axe de rotation. Pour avoir la variation totale de ${\frac {d\mathrm {A} }{dt}},$ il faut ajouter à la variation précédente celle qui résulte du mouvement du fluide et que nous désignerons par $\alpha \delta \mathrm {L} \,;$ or on a vu ci-dessus que la variation entière de ${\frac {d\mathrm {A} }{dt}}$ est égale à celle que donne l’équation (1) et qui aurait lieu si le fluide qui recouvre la Terre for-