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Soit $\varphi (x,\alpha )=0$ l’équation proposée entre $x$ et $\alpha ,$ et $u$ la fonction de $x$ et de $\alpha$ qu’il s’agit de réduire en série ; on commencera d’abord par résoudre l’équation $\varphi (x,0)=0,$ dans laquelle se change la proposée lorsqu’on y suppose $\alpha =0,$ et l’on aura différentes racines qui donneront autant de séries dans lesquelles $u$ pourra être développé. Soit $x-a=0$ une de ces racines ; la quantité $\varphi (x,0)$ aura donc pour facteur une puissance positive de $x-a,$ que je suppose égale à $i.$ Cela posé, si l’on nomme $\alpha ^{n}q_{n}$ le terme de l’ordre $\alpha ^{n}$ de l’expression de $u$ réduite en série lorsqu’on fait usage de la racine $x-a=0,$ on aura

$q_{n}={\frac {\cfrac {\partial ^{n}u}{\partial \alpha ^{n}}}{1.2.3\ldots n}}-{\frac {\partial ^{n-1}\left\{(x-a)^{n}{\cfrac {\partial ^{n}\left[{\cfrac {\partial u}{\partial x}}\log \varphi (x,\alpha )\right]}{1.2.3\ldots n\partial x^{n}}}\right\}}{1.2.3\ldots (n-1)i\partial x^{n-1}}}\,;$

en observant dans le second membre de cette équation : 1^o de considérer les deux variables $x$ et $\alpha$ comme indépendantes ; 2^o de supposer $\alpha =0$ après les différentiations relatives à $\alpha ,$ et $x=a$ après toutes les différentiations.

Soit, par exemple,

$cf(x,\alpha )=x-a-\alpha z,$

$z$ étant fonction de $x,$ et supposons $u$ fonction de $x$ sans $\alpha \,;$ on trouvera facilement, en supposant $\alpha =0$ après les différentiations,

${\frac {\partial ^{n}{\cfrac {\partial u}{\partial x}}\log(x-a-\alpha z)}{\partial \alpha _{n}}}=-{\frac {1.2.3\ldots (n-1)z^{n}{\cfrac {\partial u}{\partial x}}}{(x-a)^{n}}}.$

De plus, on a ${\frac {\partial u}{\partial \alpha }}=0$ et $i=1,$ partant du

$q_{n}={\frac {\partial ^{n-1}z^{n}{\cfrac {\partial u}{\partial x}}}{1.2.3\ldots n\partial x^{n-1}}},$

ce qui est conforme à ce qu’on a vu dans l’article VII.