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pourvu que dans la double différentielle ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \alpha \partial \alpha _{1}}}$ on change $z$ en $z^{n}$ et $z_{1}$ en $z_{1}^{n_{1}}\,;$ si l’on y suppose ensuite $\alpha =0$ et $\alpha _{1}=0,$ on aura, toujours avec la condition précédente,

$q_{n,n_{1}}={\frac {\partial ^{n+n_{1}-2}{\cfrac {\partial ^{2}u}{\partial \alpha \partial \alpha _{1}}}}{1.2.3\ldots n\partial t^{n-1}.1.2.3\ldots n_{1}\partial t_{1}^{n_{1}-1}}}$

De là il est aisé de conclure généralement que, si l’on a les $r$ équations

${\begin{aligned}x\ \,=&\varphi \ \,(t\ \,+\alpha \ \,z\ \,),\\x_{1}=&\varphi _{1}(t_{1}+\alpha _{1}z_{1}),\\x_{2}=&\varphi _{2}(t_{2}+\alpha _{2}z_{2}),\\\ldots =&\ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

$z,z_{1},z_{2},\ldots$ étant fonctions des $r$ quantités $x,x_{1},x_{2},\ldots ,$ et que l’on propose de développer une fonction quelconque $u$ de ces mêmes quantités dans une suite ordonnée par rapport aux puissances et aux produits de $\alpha ,\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,$ si l’on nomme $\alpha ^{n}\alpha _{1}^{n_{1}}\alpha _{2}^{n_{2}}\ldots q_{n,n_{1},n_{2},\ldots }$ le terme de l’ordre $\alpha ^{n}\alpha _{1}^{n_{1}}\alpha _{2}^{n_{2}}\ldots$ de cette suite, on aura

$q_{n,n_{1},n_{2},\ldots }={\frac {\partial ^{n+n_{1}+n_{2}+\ldots -r}{\cfrac {\partial ^{r}u}{\partial \alpha \partial \alpha _{1}\partial \alpha _{2}\ldots }}}{1.2.3\ldots n\partial t^{n-1}.1.2.3\ldots n_{1}\partial t_{1}^{n_{1}-1}.1.2.3\ldots n_{2}\partial t_{2}^{n_{2}-1}\ldots }},$

pourvu que dans la différentielle ${\frac {\partial ^{r}u}{\partial \alpha \partial \alpha _{1}\partial \alpha _{2}\ldots }}$ on change $z$ en $z^{n},\ z_{1}$ en $z_{1}^{n_{1}},\ z_{2}$ en $z_{2}^{n_{2}},\ldots ,$ et qu’en suite on y substitue $\varphi (t)$ au lieu de $x,\ \varphi _{1}(t_{1})$ au lieu de $x_{1},\ \varphi _{2}(t_{2})$ au lieu de $x_{2},\ldots \,;$tout se réduit donc à déterminer la valeur de cette différentielle.

Si l’on ne considère qu’une seule variable $x,$ on aura, par l’article précédent,

${\frac {\partial u}{\partial \alpha }}=z{\frac {\partial u}{\partial t}}\,;$

partant, si l’on nomme $\scriptstyle \mathrm {U}$ et $\mathrm {Z}$ ce que deviennent $u$ et $z$ en y substituant $\varphi (t)$ au lieu de $x,$ on aura

$q_{n}={\frac {\partial ^{n-1}.\mathrm {Z} ^{n}{\cfrac {\partial \scriptstyle \mathrm {U} \displaystyle }{\partial t}}}{1.2.3\ldots n\partial t^{n-1}}}.$