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même article,

$q_{n,n_{1}}={\frac {\cfrac {\partial ^{n+n_{1}}u}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha _{1}^{n_{1}}}}{1.2.3\ldots n.1.2.3\ldots n_{1}}},$

pourvu que l’on suppose $\alpha$ et $\alpha _{1},$ égaux à zéro, après les différentiations, dans le second membre de cette équation ; cela posé, en considérant $u$ comme fonction de $x$ seul on a, par l’article précédent,

${\frac {\partial ^{n}u}{\partial \alpha ^{n}}}={\frac {\partial ^{n-1}.z^{n}{\cfrac {\partial u}{\partial t}}}{\partial t^{n-1}}},$

partant

${\frac {\partial ^{n+n_{1}}u}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha _{1}^{n_{1}}}}={\frac {\partial ^{n-1}}{\partial t^{n-1}}}{\frac {\partial ^{n_{1}}.z^{n}{\cfrac {\partial u}{\partial t}}}{\partial \alpha _{1}^{n_{1}}}}\,;$

or on a

${\frac {\partial ^{n_{1}}.z^{n}{\cfrac {\partial u}{\partial t}}}{\partial \alpha _{1}^{n_{1}}}}={\frac {\partial ^{n_{1}}.z{\cfrac {\partial u}{\partial t}}}{\partial \alpha _{1}^{n_{1}}}},$

pourvu que dans le résultat de la différentiation du second membre de cette équation on change $z$ en $z^{n}\,;$ de plus, on a, par l’article précédent,

$z{\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial u}{\partial \alpha }}\,;$

on aura donc, en changeant $z$ en $z^{n}$ dans l’expression de ${\frac {\partial u}{\partial \alpha }}$ du second membre de l’équation suivante,

${\frac {\partial ^{n+n_{1}}u}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha _{1}^{n_{1}}}}={\frac {\partial ^{n-1}}{\partial t^{n-1}}}{\frac {\partial ^{n_{1}+1}u}{\partial \alpha \partial \alpha _{1}^{n_{1}}}}.$

Présentement, on a

${\frac {\partial ^{n_{1}}u}{\partial \alpha _{1}^{n_{1}}}}={\frac {\partial ^{n_{1}-1}}{\partial t_{1}^{n_{1}-1}}}z_{1}^{n_{1}}{\frac {\partial u}{\partial t_{1}}}={\frac {\partial ^{n_{1}-1}}{\partial t_{1}^{n_{1}-1}}}{\frac {\partial u}{\partial \alpha _{1}}},$

pourvu que dans l’expression de ${\frac {\partial u}{\partial \alpha _{1}}}$ du second membre de cette équation on change $z_{1}$ en $z_{1}^{n_{1}}\,;$ partant, on aura

${\frac {\partial ^{n+n_{1}}u}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha _{1}^{n_{1}}}}={\frac {\partial ^{n+n_{1}-2}{\cfrac {\partial ^{2}u}{\partial \alpha \partial \alpha _{1}}}}{\partial t^{n-1}\partial t_{1}^{n_{1}-1}}},$