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en suivant ce procédé, il est aisé de conclure généralement

${\frac {\partial ^{n}u}{\partial \alpha ^{n}}}={\frac {\partial ^{n}\int z^{n}{\cfrac {\partial u}{\partial x}}dx}{\partial t^{n}}}={\frac {\partial ^{n-1}.z^{n}{\cfrac {\partial u}{\partial x}}{\cfrac {\partial x}{\partial t}}}{\partial t^{n-1}}}={\frac {\partial ^{n-1}.z^{n}{\cfrac {\partial u}{\partial t}}}{\partial t^{n-1}}}.$

Supposons maintenant qu’en faisant $\alpha =0$ on ait $x=\mathrm {T,\ T}$ étant fonction de $t\,;$ on substituera cette valeur dans $z$ et dans $u.$ Soient $\mathrm {Z}$ et $\scriptstyle \mathrm {U}$ ce que deviennent alors ces quantités, et l’on aura, dans la supposition de $\alpha =0,$

${\frac {\partial ^{n}u}{\partial \alpha ^{n}}}={\frac {\partial ^{n-1}.\mathrm {Z} ^{n}{\cfrac {\partial \scriptstyle \mathrm {U} \displaystyle }{\partial t}}}{\partial t^{n-1}}},$

partant (art. I)

$q_{n}={\frac {\partial ^{n-1}.\mathrm {Z} ^{n}{\cfrac {\partial \scriptstyle \mathrm {U} \displaystyle }{\partial t}}}{1.2.3\ldots n\partial t^{n-1}}},$

en sorte que l’on aura, par le même article,

(A)

$u=\scriptstyle \mathrm {U} \displaystyle +\alpha \mathrm {Z} {\frac {\partial \scriptstyle \mathrm {U} \displaystyle }{\partial t}}+{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}{\frac {\partial .\mathrm {Z} ^{2}{\cfrac {\partial \scriptstyle \mathrm {U} \displaystyle }{\partial t}}}{\partial t}}+{\frac {\alpha ^{3}}{1.2.3}}{\frac {\partial ^{2}.\mathrm {Z} ^{3}{\cfrac {\partial \scriptstyle \mathrm {U} \displaystyle }{\partial t}}}{\partial t^{2}}}+\ldots .$

Il ne s’agit plus que de déterminer la fonction de $t$ et de $\alpha$ que $x$ représente, en intégrant l’équation aux différences partielles ${\frac {\partial x}{\partial \alpha }}=z{\frac {\partial x}{\partial t}}.$

Pour cela, on observera que

$dx={\frac {\partial x}{\partial \alpha }}d\alpha +{\frac {\partial x}{\partial t}}dt={\frac {\partial x}{\partial t}}(dt+zd\alpha ),$

en substituant au lieu de ${\frac {\partial x}{\partial \alpha }}$ sa valeur $z{\frac {\partial x}{\partial t}}\,;$ or on a

$dt+zd\alpha =d(t+\alpha z)-\alpha {\frac {\partial z}{\partial x}}\,;$

donc

$dx={\frac {\partial x}{\partial t}}d(t+\alpha z)-\alpha {\frac {\partial z}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}dx,$