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Dans le cas où $n$ est impair et plus grand que l’unité, il est très remarquable que l’expression de $q_{n-1}$ se réduise toujours à zéro ; pour le faire voir, nous observerons que si l’on ne considère dans les premiers membres des équations suivantes que les puissances $(n-r)^{n-1},$ dans lesquelles $n-r$ est positif, on aura, par la théorie connue des différences finies,

${\begin{aligned}(n-1)^{n-1}&-n(n-2)^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(n-3)^{n-1}-\ldots \\=\Delta ^{n}(n&-1)^{n-1}+1,\\(n-2)^{n-1}&-n(n-3)^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(n-4)^{n-1}-\ldots \\=\Delta ^{n}(n&-2)^{n-1}+2^{n-1}-n,\\(n-3)^{n-1}&-n(n-4)^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(n-5)^{n-1}-\ldots \\=\Delta ^{n}(n&-3)^{n-1}+3^{n-1}-2^{n-1}n+{\frac {n(n-1)}{1.2}}.\end{aligned}}$

De plus, on a généralement $\Delta ^{n}x^{n-1}=0\,;$ en substituant ces valeurs dans l’expression de $q_{n-1},$ on trouvera facilement qu’elle se réduit à zéro dans le cas où $n$ est impair, et que, dans le cas où $n$ est pair et égal à $2s,$ on a

$q_{2s-1}={\frac {\pm 1}{1.2.3\ldots (2s-1)2^{2s-1}\left(2^{2s}-1\right)}}$

$\times \left\{{\begin{aligned}{\frac {1}{2}}&\left[s^{2s-1}-2s(s-1)^{2s-1}+{\frac {2s(2s-1)}{1.2}}(s-2)^{2s-1}-\ldots \right]\\&-\left[(s-1)^{2s-1}-2s(s-2)^{2s-1}+\ldots \right]\\&+\left[(s-2)^{2s-1}-\ldots \right]\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}$

expression que l’on peut mettre sous cette forme très simple

$q_{2s-1}={\frac {\pm 1}{1.2.3\ldots (2s-1)2^{2s-1}\left(2^{2s}-1\right)}}$

$\times \left\{{\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}s^{2s-1}\\&-(s-1)^{2s-1}\left(1+{\frac {1}{2}}2s\right)+(s-2)^{2s-1}\left[1+2s+{\frac {1}{2}}{\frac {2s(2s-1)}{1.2}}\right]\\&-(s-3)^{2s-1}\left[1+2s+{\frac {2s(2s-1)}{1.2}}+{\frac {1}{2}}{\frac {2s(2s-1)(2s-2)}{1.2.3}}\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\},$