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négatives ou nulles de $e^{\alpha },$ on aura

$\left(e^{\alpha }+1\right)^{n}{\frac {d^{n-1}\left(e^{\alpha }+1\right)^{-1}}{d\alpha ^{n-1}}}=$

${\begin{aligned}\pm &\left\{\quad \ \ e^{(n-1)\alpha }-e^{(n-2)\alpha }\left(2^{n-1}-n\right)\right.\\&\quad +e^{(n-2)\alpha }\left[3^{n-1}-2^{n-1}n+{\frac {n(n-1)}{1.2}}\right]\\&\quad -e^{(n-4)\alpha }\left[4^{n-1}-3^{n-1}n+2^{n-1}{\frac {n(n-1)}{1.2}}-{\frac {n(n-1)(n-2)}{1.2.3}}\right]\\&\quad +\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\left.\right\}\\=\mathrm {A} &\quad e^{(n-1)\alpha }+\mathrm {A} ^{(1)}e^{(n-2)\alpha }+\ldots .\end{aligned}}$

Si l’on substitue cette valeur de $\mathrm {A} e^{(n-1)\alpha }+\ldots$ dans l’équation (7), et que l’on y suppose $\alpha =0,$ on aura

${\frac {d^{n-1}{\cfrac {1}{e^{\alpha }+1}}}{d\alpha ^{n-1}}}=$

$\pm {\frac {\left\{{\begin{aligned}1&-\left(2^{n-1}-n\right)+\left[3^{n-1}-2^{n-1}n+{\frac {n(n-1)}{1.2}}\right]\\&-\left[4^{n-1}-3^{n-1}n+2^{n-1}{\frac {n(n-1)}{1.2}}-{\frac {n(n-1)(n-2)}{1.2.3}}\right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}}{2^{n}}},$

partant

$q_{n-1}={\frac {\pm 1}{1.2.3\ldots (n-1)\left(2^{n}-1\right)2^{n}}}$

$\times \left\{{\begin{aligned}1&-\left(2^{n-1}-n\right)+\left[3^{n-1}-2^{n-1}n+{\frac {n(n-1)}{1.2}}\right]\\-&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\pm &\left[(n-1)^{n-1}-(n-2)^{n-1}n+(n-3)^{n-1}{\frac {n(n-1)}{1.2}}-\ldots \right]\end{aligned}}\right\},$

le signe supérieur ayant lieu dans cette dernière équation si $n$ est pair, et l’inférieur s’il est impair.

La formule précédente n’a lieu qu’au tant que $n$ est plus grand que $1,$ et l’on ne peut trouver par son moyen la valeur de $q_{0}\,:$ mais cette valeur est très facile à déterminer en considérant que

${\frac {1}{e^{\alpha }-1}}={\frac {1}{\alpha +{\cfrac {\alpha ^{2}}{1.2}}+\ldots }}={\frac {1}{\alpha }}-{\frac {1}{2}}+\ldots ,$

d’où l’on tire

$q_{0}=-{\frac {1}{2}}.$